ГЛАВА 2. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения возмущенного движения, к рассмотрению которых приводит задача об устойчивости движения, как правило, нелинейны. Их исследование начинается обытао с анализа соответствующей системы уравнений первого приближения. Будем рассматривать только те случаи, когда дифференциальные уравнения первого приближения линейные.

Итак, пусть задана гамильтонова система линейных дифференциальных уравнений

Переменные канонически сопряженные координаты, импульсы) в соответствующей механической задаче. Матрица I порядка имеет вид

где единичная матрица порядка к. Знаком обозначена операция транспонирования матрицы. Через в системе уравнений (1.1) обозначена вещественная симметрическая матрица порядка Она либо постоянна, либо является непрерывной, -периодической по

Пусть матрица в системе уравнений (1.1) постоянна. Для решения вопроса об устойчивости рассмотрим характеристическое уравнение

Покажем, что характеристический многочлен четная функция к. Для этого рассмотрим следующую цепочку равенств:

Таким образом, уравнение (1.3) содержит только четные степени К. Поэтому, если у него есть корень имеющий отрицательную вещественную часть, то обязательно будет и корень с положительной вещественной частью, а значит, система (1.1) (а вместе с ней и невозмущенное движение) неустойчива.

Мы получили, следовательно, такое условие устойчивости системы (1.1): для устойчивости системы (1.1) необходимо, чтобь корни характеристического уравнения были чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если дополнительно потребовать, чтобы матрица приводилась к диагональной форме [51].

Но будет ли при выполнении этих условий устойчиво невозмущенное движение — зависит от членов более высокого порядка в нелинейных уравнениях возмущенного движения.

Выполнимость необходимых и достаточных условий устойчи вости системы (1.1) гарантирована в том частном случае, соответствующая функция Гамильтона знакоопределенна. Тогда, приняв ее за функцию Ляпунова V и учтя, что на основании теоремы Ляпунова получим вывод об устойчивости системы (1.1). В этом случае характеристическое уравнение всегда имеет только чисто мнимые корни и независимо от их кратности матрица обязательно приводится к диагональной форме.

В случае знакоопределенности невозмущенное движение автономной гамильтоновой системы будет устойчивым и в строгой нелинейной постановке задачи. Поэтому для полного решения вопроса об устойчивости невозмущенного движения в этом случае достаточно рассмотрения линейной системы (1.1) или квадратичной части функции Гамильтона. Но уравнение (1.3) может иметь чисто мнимые корни и тогда, когда функция Гамильтона не будет знакоопределенной. Такой будет, например, следующая система дифференциальных уравнений первого приближения:

Характеристическое уравнение системы (1.4) имеет две пары чисто мнимых корней Соответствующая матрица приводима к диагональной форме, а функция Гамильтона

не является знакоопределенной. В этом случае для решения задачи об устойчивости невозмущенного движения недостаточно рассмотрения линейной системы (1.4) и необходимо проводить анализ полной нелинейной системы уравнений возмущенного движения.