§ 3. Линейный анализ устойчивости точек либрации

Исследуем устойчивость полученных точек либрации. Ввиду симметрии можно ограничиться рассмотрением одной из точек, например Рассмотрим сначала устойчивость в линейном приближении. Положим

где координаты точки либрации определяемые формулами (2.4). Линеаризованные уравнения движения запишутся в виде

Характеристическое уравнение системы (3.2) — (3.4) распадается на два уравнения: одно четвертого, а другое второго порядков:

Из (3.5) и (3.6) получаем, что если а то для достаточно малых

к характеристическое уравнение имеет три пары чисто мнимых корней:

где —частоты малых колебаний материальной точки вблизи

Если же а то при достаточно малых один из корней характеристического уравнения будет вещественным положительным числом

Таким образом, в случае выполнения неравенства (т. е. точка либрации (а также и точка ) расположена на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида) линеаризованная система (3.2) — (3.4) устойчива, а значит, для полной нелинейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения выполнены необходимые условия устойчивости.

Рис. 48. Области устойчивости и неустойчивости точек либрации трехосного гравитирующего эллипсоида.

В случае же, когда а (т. е. точка либрации (а также и точка расположена на продолжении большой полуоси экваториального сечения эллипсоида), линейная система (3.2) — (3.4) неустойчива, а также неустойчива по Ляпунову и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения.

На рис. 48 в плоскости параметров показаны область I, где выполнены необходимые условия устойчивости точек либрации, и область II, в которой точки либрации неустойчивы по Ляпунову (на рис. 48 принято