§ 5. Об устойчивости неавтономной системы с двумя степенями свободы при резонансе четвертого порядка

Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в случаях (5) — (9). Здесь упрощенная при помощи преобразований, аналогичных преобразованиям предыдущего параграфа, функция Гамильтона в полярных координатах имеет следующий вид:

В (5.1) , а функция Н для случаев (5) — (9) будет соответственно такой:

При приведении гамильтониана к виду (5.1) считаем, что а в формулах преобразования (4.10)

Выражения для коэффициентов таковы:

Величины входящие в (5.2), вычисляются по формулам (4.9), в которых надо положить

В формулах (5.3) — (5.4) величины суть коэффициенты при соответствующих степенях в функции вычисляемой по формулам (4.5).

Для каждого из резонансных случаев (5) — (9) введем величины формулами

Теорема. При выполнении неравенства положение равновесия неустойчиво, при имеет место определенно

устойчивостъ при учете в функции Гамильтона (5.1) членов не выше второго порядка по Если в (5.1) функция будет знакоопределенной функцией, то положение равновесия формально устойчиво.

Докажем теорему в случае (5). Для доказательства первого утверждения возьмем функцию Четаева в виде где

За область примем область В этой области Для производной получаем такое выражение:

где функции сколь угодно малы при стремящемся к нулю.

Из (5.7) видно, что при величину можно выбрать настолько малой, что функция будет определенно-положительной в области в достаточной близости к началу координат. Тем самым утверждение теоремы о неустойчивости доказано.

Второе утверждение теоремы доказывается очень просто. «Укороченная» система с функцией Гамильтона имеет два интеграла и Для доказательства устойчивости «укороченной» системы воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости. Функцию Ляпунова возьмем в виде

При эта функция, как легко видеть, будет определенно-положительной, откуда, согласно теореме Ляпунова, следует утверждение доказываемой теоремы.

Покажем теперь справедливость третьего утверждения теоремы. Применяя преобразование Биркгофа, а затем преобразование (4.10), гамильтониан (4.1) можно формально привести к функции, не зависящей от во всех порядках. Тогда выражение будет формальным интегралом исходной системы дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона (4.1). Получаем

Поэтому, если будет знакоопределенной функцией, то положение равновесия формально устойчиво. Теорема полностью доказана.

В резонансном случае (7) неустойчивость доказывается при помощи функции Четаева где

Устойчивость «укороченной» системы в случае (7) доказывается при помощи функции Ляпунова

В случае (8) функцию можно взять в виде где

а функция в этом резонансном случае может быть взята в виде

Рассмотрение резонансов (6) и (9) аналогично рассмотрению резонансов (5) и (8) соответственно.