§ 3. Резонансные кривые

Для дальнейшего исследования надо привести к нормальной форме члены третьего и четвертого порядков в разложении функции Гамильтона. Нормальная форма будет различной в зависимости от того, будут параметры резонансными или нет. Оказывается, что в плоскости внутри области устойчивости линеаризованной задачи есть кривые, на которых выполняются резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Эти кривые при исходят из точек оси выписанных во второй строке табл. 2 и 3.

Таблица 2

Таблица 3

На рис. 14 внутри области устойчивости линейной задачи построены резонансные кривые, которые были получены при помощи численных расчетов на ЭВМ при произвольных Найдем уравнения резонансных кривых при малых значениях эксцентриситета. Для этого и надо получить с

точностью до так как величины оказались равными нулю. Величины найдутся из условий периодичности функций и

Рис. 14. Резонансные кривые.

Действительно, из (2.13)-(2.15) получаем такие дифференциальные уравнения для этих функций:

Подставив в правые части этих уравнений функции и подобрав так, чтобы постоянные слагаемые в правых частях были равными нулю (условия периодичности получим после некоторых преобразований, использующих формулы (2.7), (2.10) и уравнение (2.2), такие выражения для и

Резонансная кривая при малых будет иметь уравнение

где — точка, из которой на оси начинается резонансная

кривая. Учитывая (2.15), для величин получаем выражение

В этом выражении правая часть вычисляется при Числовые значения величины для резонансных кривых третьего и четвертого порядков приведены в третьей строке табл. 2 и 3.