§ 7. Результаты численного исследования при произвольных е и «мю». Устойчивость лагранжевых решений в системе Солнце-Юпитер

В этом параграфе кратко опишем численное исследование треугольных точек либрации в системе Солнце-Юпитер, а также результаты численного исследования при произвольных Исследование было приведено на ЭВМ с применением метода точечных отображений (см. главу 6).

Итак, пусть параметры соответствуют системе Солнце — Юпитер: Сначала нужно найти линейное нормализующее пребразование. Алгоритм его получения изложен в § 5 главы 2. Линейная нормализация части гамильтониана, соответствующей пространственным переменным не требуется, так как пространственная часть гамильтониана уже с самого начала имеет нормальную форму. Займемся поэтому нормализацией части гамильтониана плоского движения.

Расчеты показывают, что фундаментальная матрица решений соответствующей системы дифференциальных уравнений при

будет такой:

Величины и вычисляем по формулам (7.6) предыдущей главы. Получаем

Теперь надо найти какое-либо решение системы уравнений (5.10) второй главы. Положим для определенности четвертые компоненты векторов вещественными и равными единице. Тогда действительные и мнимые части собственных векторов получаются такими:

Для скалярных произведений получаем такие числовые значения:

Далее, из уравнений (5.9) главы 2 находим элементы матрицы

Теперь уже можно выписать нормализующую матрицу где

Для получения матрицы при каком-либо значении нужно на ЭВМ интегрировать систему линейных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка.

Применив далее алгоритм, изложенный в главе 6, получим производящую функцию точечного отображения в окрестности точки либрации

где

(см. скан)

В выражении для выпишем только те одночлены, которые необходимы для получения нормальной формы функции Гамильтона

Теперь,согласно алгоритму главы 6, проведем нормализацию полученного отображения и по его нормальной форме найдем нормальную форму соответствующей функции Гамильтона. Она имеет вид (3.4). Коэффициенты с точностью до четырех знаков таковы:

Для этих значений коэффициентов

Таким образом (см. главу 5), в плоской задаче имеет место устойчивость треугольных точек либрации для большинства начальных условий.

Коэффициенты функций с точностью до пяти знаков будут такими:

Функция при всех очевидно, отрицательна. Поэтому (см. § 4) в пространственной задаче треугольные точки либрации устойчивы при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно по координатам и импульсам возмущенного движения.

Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно близко к оси резонансным кривым второго (граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-видимому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что существование очень узкой области неустойчивости при малых этой главе мы показали аналитическими методами.