§ 4. Нормализация точечного отображения в окрестности неподвижной точки

После получения точечного отображения встает более сложная и самая важная задача об исследовании свойств точечного отображения в окрестности неподвижной точки. Свойства точечного отображения удобнее всего исследовать, если выбрать такую систему координат, в которой это отображение имело бы наиболее простой вид. Эту простейшую форму точечного отображения будем называть его нормальной формой. Нормальная форма для случая отображения плоскости в себя подробно изучена Биркгофом [28, 105]. Общие результаты о нормальной форме дифференциальных уравнений и точечных отображений, задаваемых периодическими по системами, изложены в работе А. Д. Брюно [11, 12].

Здесь получим нормальную форму точечного отображения, задаваемого канонической системой дифференциальных уравнений. Будем считать, что нормализация линейной части отображения не требуется. Это возможно, когда квадратичная часть функции

Гамильтона, соответствующей системе дифференциальных уравнений, имеет нормальную форму.

Итак, пусть помощью процедуры, описанной в предыдущем параграфе, мы уже получили производящую функцию отображения Т:

Явный вид отображения получается после разрешения относительно уравнений

Проведя несложные выкладки, получим отсюда

где

Введем теперь новые переменные так, чтобы максимально упростить отображение (4.3). Новые переменные введем при помощи производящей функции

Эта производящая функция задает преобразование -Переход от переменных к переменным производится при помощи той же производящей функции в которой надо только заменить

Из формул замены переменных

получаем

Связь между получается по тем же формулам (4.4), в которых надо всем переменным приписать верхний индекс нуль.

Попытаемся теперь так подобрать функцию чтобы в производящей функции отображения отсутствовали члены третьей степени относительно Подставив выражения старых переменных уч и через новые соответственно в формулы (4.2). Тогда

Здесь в явном виде выписаны только первые нелинейности по Из формул (4.5) получим

Таким образом, члены третьей степени в новой производящей функции

имеют вид

Покажем, как надо выбрать чтобы функция обратилась в нуль. Возьмем в два таких одночлена:

Здесь целое неотрицательное число, некоторые числа, одновременно не равные нулю, через обозначена величина где или 1.

Соответствующие одночлены в возьмем в виде

и подберем коэффициенты у и так, чтобы подобные им одночлены в отсутствовали. Подставляя (4.9), (4.10) в (4.8), получаем, что для этого у и должны удовлетворять такой системе линейных

алгебраических уравнений:

Определитель этой системы равен Поэтому, если не будет целым числом при то можно полностью уничтожить. При этом коэффициенты у и получаются такими:

Проведя некоторые достаточно громоздкие выкладки, получим, что при таком выборе члены четвертой степени в производящей функции отображения вычисляются по формуле

Если же число будет целым, то система уравнений (4.11) в общем случае решения не имеет и, следовательно, соответствующие одночлены в функции уничтожить нельзя.

Проведя аналогичные построения, можно упростить члены четвертой, пятой и т. д. степеней в производящей функции отображения. В нормальной форме отображения производящая функция будет содержать угловые переменные в виде таких комбинаций для которых целое число. Если нормализация проведена до членов конечного порядка, то нормализующее преобразование будет аналитическим относительно