§ 4. Резонансы третьего порядка

Рассмотрим устойчивость лагранжевых решений при значениях параметров принадлежащих резонансным кривым третьего порядка. При малых значениях эксцентриситета резонанс не может привести к неустойчивости, если в нормализованной функции Гамильтона учесть все члены только до третьего порядка относительно координат импульсов. Этот резонанс не приводит к неустойчивости и при учете в гамильтониане членов четвертого порядка, так как при резонансная кривая не пересекается с другими резонансными кривыми третьего и четвертого порядков.

Исследуем оставшиеся четыре резонанса третьего порядка. Исследование просто, хотя весьма громоздко. Основные трудности здесь связаны с проведением нормализации Биркгофа. Мы не будем приводить подробно все вычисления, так как они стандартны и очень громоздки. Укажем только на основные моменты, связанные с применением преобразования Биркгофа, и приведем конечный результат нормализации.

Во-первых, ясно, что коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона будут аналитическими функциями Во-вторых, замечая, что гармоника входит в производящую функцию линейного нормализующего преобразования, а также в Я, и Я, с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени, не меньшей получаем, что при резонансе — отличие коэффициентов в нормальной форме от нуля может обнаружиться только в приближении по

Таким образом, неустойчивость при резонансе не может быть обнаружена, так как мы учитываем только первую степень эксцентриситета. Резонанс проявляется уже в круговой задаче При малых нормализованная функция Гамильтона будет иметь такой вид:

Здесь и в дальнейшем через обозначаются новые канонические переменные, введенные преобразованием Биркгофа. В

функции (4.1) приняты обозначения

Далее, так как на резонансной кривой (как и на всех резонансных кривых) при малых отличие от значения, соответствующего порождающей точке проявляется только при то, чтобы получить значения вдоль резонансной кривой с точностью до величин порядка нужно в формулах (4.2) положить Получим

Сделаем каноническое преобразование

где

Теперь функция Гамильтона запишется в виде

где коэффициент и при достаточно малых отличен от нуля. Поэтому (см. § 4 главы 5) для значений лежащих на резонансной кривой достаточно малых лагранжевы решения неустойчивы.

В случае резонансов нормализованная функция Гамильтона имеет соответственно такой вид:

Значения коэффициентов на соответствующих резонансных кривых таковы:

Делая замену переменных, аналогичную (4.3), получим функции Гамильтона (4.5) в виде, аналогичном (4.4). При этом коэффициент при малых не будет равен нулю. Следовательно, на резонансных кривых при достаточно малых лагранжевы решения неустойчивы.