§ 3. Об устойчивости точек либрации

В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. Полное исследование устойчивости будет проведено в главах -7 и 8, а здесь мы остановимся только на доказательстве давно известного утверждения [22]: в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные — устойчивы в первом приближении, если отношение масс тел достаточно мало; более точно, если выполнено следующее неравенство:

При уравнения возмущенного движения, линеаризованные в окрестности прямолинейных точек либрации , имеют следующий вид:

где

А линейные уравнения, соответствующие треугольным точкам либрации запишутся так:

Будем, пользоваться следующими теоремами Ляпунова об устойчивости по первому приближению [49], которые приводим здесь без доказательства.

Теорема 1. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

Теорема 2. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения можно выбрать так, чтобы получить по желанию как устойчивость, так и неустойчивость.

Характеристическое уравнение системы первого приближения (3.2) распадается на два уравнения: одно квадратное, соответствующее пространственной переменной , а другое биквадратное, соответствующее переменным

Квадратное уравнение записывается в виде

и имеет пару чисто мнимых корней как величина положительна (см. (3.3)).

Биквадратное уравнение записывается в виде равенства нулю определителя второго порядка

Раскрывая этот определитель, получаем

Легко показать, что уравнение (3.6) для каждой точки либрации имеет два вещественных и два чисто мнимых корня.

В самом деле, чтобы показать это, достаточно убедиться в том, что величина для каждого к и 3 отрицательна.

Для точки это сразу следует из (3.3), так как

Для точки выразим, следуя [89], и через из уравнения (2.12):

Подставив это выражение в разность и учтя, что в рассматриваемом случае получим

Эта величина отрицательна, так как здесь (см. предыдущий параграф).

Для точки можно воспользоваться уравнением (2.10) и, учтя, что в этом случае для разности получим выражение, аналогичное (3.7), в котором надо только заменить на А так как здесь то величина для точки будет отрицательна.

Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида где вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел.

Характеристическое уравнение системы первого приближения (3.4) для треугольных точек либрации тоже распадается на квадратное, соответствующее переменной и имеющее два чисто мнимых корня и биквадратное

соответствующее переменным

Если

то уравнение (3.8) имеет две пары комплексных корней и, следовательно, два из этих четырех корней заведомо будут иметь

положительные вещественные части. Поэтому, согласно теореме Ляпунова, при выполнении условия (3.9) треугольные точки либрации неустойчивы.

Если же выполнено неравенство то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корпя и точки либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения.

Если, наконец, то уравнение (3.8) имеет две пары кратных чисто мнимых корней И в этом случае уже нет устойчивости в линейном приближении, так как (см., например, [89]) общее решение системы (3.4) первого приближения содержит неограниченно растущие со временем слагаемые вида В нелинейной задаче, однако, точки либрации могут стать устойчивыми.

Случаи, когда задача об устойчивости гамильтоновых систем не решается линейным приближением, будут исследованы в последующих главах. При исследовании мы часто будем использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. Приведем здесь некоторые определения и сформулируем необходимые в дальнейшем теоремы. Доказательство этих теорем можно найти, например, в [51, 95].

Пусть дифференциальные уравнения движения имеют вид

где функции например, аналитичны относительно и непрерывны по в области

Предположим, что Тогда система (3.10) допускает частное решение которое будем называть невозмущенным. Пусть в момент времени равный и будем рассматривать движение при Тогда называется возмущенным движением, а уравнения (3.10) — уравнениями возмущенного движения.

Рассмотрим функцию определенную в области (3.11). Пусть функция V дифференцируема. Тогда ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного.

движения запишется так:

Определение. Если функция V и ее производная (3.12) непрерывны и однозначны в области (3.11) и если они тождественно равны нулю при то функцию V называют функцией Ляпунова.

Определение. Не зависящая от функция Ляпунова V называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она при

где достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного знака и обращается в нуль только при

Определение. Функция Ляпунова V, явно зависящая от называется определенно-положительной, если она в области (3.11) при достаточно большом и достаточно малом удовлетворяет неравенству

где определенно-положительная функция.

Определение. Функция V называется знакопостоянной, если в области (3.11) при достаточно большом и достаточно малом она принимает значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

Определение. Функция V, не являющаяся ни знакоопределенной, ни знакопостоянной, называется знакопеременной.

Определение. Говорят, что функция допускает бесконечно малый высший предел, если для любого положительного числа можно найти другое положительное число такое, что при всех значениях удовлетворяющих неравенствам

будет выполняться неравенство

Теорема (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция V, для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с V, или тождественно обращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует допускающая бесконечно малый высший предел функция производная которой в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакоопределенная, а сама функция V в области (3.11) при достаточно больших и достаточно малых может принимать значения того же знака, что и производная, то невозмущенное движение неустойчиво.

Определение. Областью называется одна из областей окрестности начала координат

которая ограничена поверхностью и в которой функция V принимает только положительные значения.

Теорема (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует функция такая, что

а) при сколь угодно больших в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область ;

б) в области функция V ограничена,

в) в области производная в силу уравнений возмущенного движения положительна, причем для всех значений связанных соотношением где а — какое-нибудь положительное число, выполняется неравенство где В — тоже некоторое положительное число, то невозмущенное движение неустойчиво.

Определение. Функцию V, удовлетворяющую последней теореме, называют функцией Четаева.