§ 4. Об устойчивости в случае равных частот

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия системы (1.1) в случае равных частот колебаний линеаризованной системы. Эта задача изучена в работах Сокольского [86, 87]. Проводимые ниже рассмотрения основаны на результатах этих работ.

Задача об устойчивости в случае равных частот распадается на две принципиально отличающиеся друг от друга задачи. Рассмотрим сначала первую из них, когда матрица линеаризованной системы (1.1) приводима к диагональной форме. В этом случае функцию Гамильтона (1.2) можно представить в виде (2.1), а затем применить преобразование Биркгофа.

Проводимая при этом нормализация принципиально ничем не отличается от аналогичных преобразований, проделанных в §§ 2 и 3. В конце концов, уничтожив форму упростив и перейдя к полярным координатам по формулам

получим функцию Гамильтона (1.2) в таком виде:

Вюражения коэффициентов нормальной формы (4.1) через коэффициенты гамильтониана (2.1) получаются из следующих формул:

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Тогда функцию Гамильтона (4.1) можно записать в следующем более компактном виде:

Как и в предыдущем параграфе, при помощи интеграла понизим порядок изучаемой системы на две единицы. Так как движение рассматривается в достаточно малой окрестности начала координат, то можно считать, что где Кроме того, считаем, что , что возможно, так как функция Я не является знакоопределенной. Разрешив уравнение относительно введя вместо новый угол обозначив еще через найдем, что полученной системе с одной степенью свободы будет соответствовать функция Гамильтона

где -периодическая по и новой независимой переменной функция, и

Переменная монотонная функция времени в достаточно малой окрестности начала координат, поэтому она в задаче об устойчивости может играть роль времени. Как видим, анализ совершенно аналогичен исследованию устойчивости при резонансах проведенному в предыдущих параграфах. Теорема. Если функция

не обращается в нуль при вещественных то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Если же существует такое, что а производная то положение равновесия неустойчиво.

Доказательство устойчивости проводится, как в предыдущем параграфе. Переменные здесь вводятся при помощи производящей функции вида

Интеграл существует при условиях теоремы. Положительности можно добиться изменением знака в гамильтониане (4.4). Функция в переменных равна. Дальнейшие рассмотрения, как и в предыдущем параграфе, основаны на применении теоремы Мозера об инвариантных кривых.

Теперь докажем неустойчивость. Заметим, что из периодичности функции и из того, что следует, что если уравнение имеет вещественные корни, то их по крайней мере два, причем знаки производной в точках соответствующих корням, различны. Пусть корень такой, что Для доказательства неустойчивости возьмем функцию таева V в виде

где достаточно малое число подберем так, чтобы в окрестности не было других корней функции а производная сохраняла в этой окрестности знак. За область возьмем область Для производной функции V в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.4) получаем такое выражение:

а эта функция в области будет положительной, так как в области а при функция и при функция но и причем выражение, стоящее в фигурных скобках, не обращается в нуль ни в области , ни на ее границе. Таким образом, согласно теореме Четаева, имеет место неустойчивость.

Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризованной системы (1.1) не приводится к диагональной форме, значительно сложнее. Трудность исследования состоит в том, что даже в линейном приближении переменные, соответствующие разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не удается свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, как это было в том случае, когда матрица линейной части системы (1.1) приводилась к диагональной форме. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от предыдущего случая и от всех исследованных в этой главе случаев устойчивости, линеаризованная система (1.1) неустойчива из-за наличия в общем решении слагаемых вида Учет же нелинейных членов в уравнениях движения может привести как к устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50].

В работах [86, 87] показано, что в рассматриваемом случае существует вещественная линейная каноническая замена переменных, приводящая функцию Гамильтона системы (1.1) к такому виду (обозначения для переменных оставляем прежними):

При помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона (4.8) опять можно полностью уничтожить члены третьей степени, а совокупность членов четвертой степени можно упростить. В результате функция (4.8) приведется к виду (обозначения для переменных снова не меняем)

В (4.9) не выписаны члены выше четвертого порядка и введены следующие обозначения:

(см. скан)

(см. скан)

Прежде чем сформулировать теорему об устойчивости системы (1.1) в случае, когда матрица линейной ее части не приводится к диагональному виду, введем согласно [157] понятие формальной устойчивости.

Решение системы

где -периодическая по аналитическая по функция, называется формально устойчивым, если существует степенной ряд возможно расходящийся, который формально является определенно-положительным интегралом с периодом

по Иными словами, все коэффициенты, степенного ряда

тождественно равны нулю, а конечное число форм наименьшей степени в ряде представляет собой определенно-положительную функцию

Теорема. Если в нормальной форме (4.9) А 0, то положение равновесия системы (1.1) формально устойчиво; если же то имеет место неустойчивость по Ляпунову.

Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобразования Биркгофа (возможно, расходящегося) функцию Гамильтона (4.9) можно привести к виду

Каноническая система с гамильтонианом (4.11) имеет два формальных интеграла и Следовательно, выражение также будет формальным интегралом системы с гамильтонианом (4.11). А так как при 40 в разложении

функция

будет определенно-положительной функцией своих переменных то отсюда следует формальная устойчивость положения равновесия.

Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. За функцию Ляпунова примем знакопеременную функцию

Ее производная, составленная в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.9), будет такой:

где не выписаны члены, порядок которых не меньше пятого относительно Функция (4.12) при А 0 будет определенно-отрицательной. Таким образом, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости, и, следовательно, положение равновесия системы (1.1) неустойчиво.