§ 4. Исследование устойчивости системы с функцией Гамильтона (3.4)

После проведения нормализации задача об устойчивости треугольных точек либрацки свелась к исследованию устойчивости положения равновесия системы с функцией Гамильтона (3.4). Для исследования устойчивости сделаем сначала

замену переменных Тогда уравнения движения сохраняют гамильтонов вид, но нормализованная часть функции Гамильтона не будет содержать истинную аномалию и член, линейный по и будет иметь вид

где теперь

Докажем следующую теорему.

Теорема. Если при любых значениях то положение равновесия устойчиво при учете в нормальной форме (4.1) членов до четвертого порядка включительно по если же существуют значения при которых но при этих значениях то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.

Первое утверждение сформулированной теоремы можно доказать при помощи теоремы Ляпунова об устойчивости. Для этого заметим, что если в нормальной форме отбросить члены выше четвертого порядка то укороченная функция Гамильтона будет интегралом движения. Кроме того, тоже будут интегралами. Для доказательства устойчивости функцию Ляпунова берем в виде

Ясно, что а функция V определенно-положительна, если уравнение не имеет корней. Отсюда следует, что положение равновесия устойчиво (для системы с укороченной функцией Гамильтона .

Второе утверждение теоремы доказывается несколько сложнее. Для доказательства используем теорему Четаева о неустойчивости. Пусть существуют значения при которых и при этих значениях производная Из этого условия и периодичности функции следует, что среди корней уравнения Существует по крайней мере одно значение, для которого -

Для доказательства неустойчивости функцию Четаева возьмем в виде

Здесь положительное сколь угодно малое число, которое подберем так, чтобы функция V удовлетворяла теореме Четаева о неустойчивости.

За область примем область, определяемую такими условиями:

В этой области справедливы следующие оценки:

Теперь, учитывая уравнения движения с функцией Гамильтона (4.1) и принимая во внимание оценки (4.5), после проведения несложных вычислений, получаем в области V О выражение для производной

Из выражения видно, что если достаточно малая (но фиксированная) величина, то в достаточно малой окрестности положения равновесиярх производная положительна в области Согласно теореме Четаева, отсюда следует неустойчивость положения равновесия.