§ 3. Уравнения движения КА вблизи L2 с учетом солнечных возмущений

3.1. Постановка задачи. В этом и последующих параграфах настоящей главы изложены основы теории пассивного движения КА в окрестности с учетом солнечных возмущений. При изложении мы следуем работам [39 — 41].

В настоящем параграфе методом канонических преобразований получены основные уравнения задачи при достаточно общих предположениях. Цель нижеследующих преобразований состоит в том, чтобы явным образом выделить некоторые малые параметры задачи и получить уравнения в форме, удобной для дальнейших преобразований с помощью теории возмущений.

Рассматривается задача о движении КА пренебрежимо малой массы под действием гравитационного притяжения Земли, Луны, Солнца и других потенциальных сил. В качестве исходной системы координат примем невращающуюся геоцентрическую систему. Введем обозначения: радиус-вектор и вектор скорости точки относительно исходной системы координат; радиус-вектор и вектор скорости центра масс Луны; радиус-вектор и вектор скорости центра масс Солнца; массы Земли, Луны и Солнца соответственно; гравитационная постоянная.

Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид

где

потенциал возмущающих сил, который может описывать возмущения от планет, от нецентральности поля Земли и Луны, от светового давления и др. Символом обозначается скалярное произведение векторов х модуль вектора Компоненты векторов канонически сопряженные переменные задачи.

3.2. Вращающаяся система координат. Перейдем к вращающейся геоцентрической системе координат. Первый орт этой системы постоянно ориентирован по радиусу-вектору Луны третий — по нормали к плоскости векторов а второй орт дополняет систему до правой. Переход к вращающейся системе координат задается ортогональной матрицей

где

Через в (3.3) обозначен вектор-столбец квадратной скобкой обозначается векторное произведение.

Переход к вращающейся системе координат можно представить как каноническое преобразование задаваемое производящей функцией

Верхний индекс в (3.4) — знак транспонирования. Каноническое преобразование имеет вид

Можно показать, что справедливо представление

где

Используя (3.5) и (3.6), вычислим

где

После преобразования (3.5) гамильтониан задачи будет иметь, вид

3.3. Безразмерные координаты. Теперь проведем каноническое преобразование задаваемое производящей функцией

Это преобразование имеет вид

Используя (3.13) и (3.14), определим

После преобразования (3.14) гамильтониан задачи запишется в: следующем виде:

где

Нетрудно проверить, что

3.4. Относительная система координат. Следующим каноническим преобразованием введем подвижную систему координат. Пусть функция

задает каноническое преобразование пока неопределенные функции времени. Запишем преобразование в явном виде:

Нетрудно вычислить

После преобразования (3.22) гамильтониан задачи будет иметь

Здесь

Здесь и ниже мы опускаем в гамильтониане слагаемые, не зависящие от и условно сохраняем знак равенства.

3.5. Разложение функции Гамильтона. Теперь предположим, что является решением уравнений с

гамильтонианом Это означает, что должны быть выбраны таким образом, чтобы разложение в ряд по начиналось с квадратичных членов относительно компонент векторов В дальнейшем мы будем интересоваться движениями при достаточно малых Для получения явного представления проведем разложение составляющих в ряд по При этом будем использовать следующие формулы [18], справедливые для

где полиномы Лежандра,

Используя (3.28) и (3.29), получим

где

Приравнивая в (3.24) нулю коэффициенты при линейных членах относительно компонент векторов получим систему дифференциальных уравнений, которой должны удовлетворять вектор-функции

Если удовлетворяют уравнениям (3.33) и (3.34), то гамильтониан задачи можно записать в следующем виде:

где

величины определены равенствами (3.32), а

3.6. Уравнения движения Луны. Рассмотрим теперь задачу о движении Луны. Она описывается гамильтонианом

где компоненты векторов канонически сопряженные переменные, К — потенциал сил, которые действуют на Луну, помимо учтенных сил гравитационного взаимодействия Луны и Земли и возмущающих сил от Солнца.

Гамильтониан (3.42) мы можем формально получить из гамильтониана (3.1), если в (3.1) положим и заменим на на к на к а К на К.

Если мы проведем последовательно все указанные выше канонические преобразования и положим то должны удовлетворять уравнениям (3.33) и (3.34), если в них положить Таким образом, удовлетворяют следующей системе уравнений:

При получении уравнения (3.43) учтено, что, согласно (3.20), Через а в уравнении (3.44) обозначена вектор-функция вычисленная при

3.7. «Подвижная точка либрации». Имея в виду дальнейшее изучение движения вблизи точки либрации преобразуем уравнения (3.33) и (3.34) при помощи замены переменных

где постоянная величина.

Замечание. Поясним представление (3.45). Если положить и принять в качестве величину , где корень уравнения

а

то должно быть решением уравнений (3.33), (3.34) в случае эллиптической задачи трех тел, т. е. в случае, когда в этих уравнениях отброшены солнечные члены и члены, связанные с дополнительными возмущениями. Эти решения соответствуют коллинеарным точкам либрации. Из изложенного ниже формального анализа видно, что решение будет иметь место и при частичном учете солнечных возмущений. (Это приближенное решение мы будем в дальнейшем называть «подвижной точкой либрации».) Тем самым в общем случае оказывается возможным определить решения уравнений (3.33), (3.34) при достаточно малых

Прежде чем осуществлять подстановку (3.45), преобразуем некоторые члены уравнения (3.34). Используя (3.29) и (3.45), можно получить следующее представление:

где

Далее преобразуем в уравнениях (3.34) и (3.44) члены, описывающие солнечные возмущения. Имеем

(кликните для просмотра скана)

Если удовлетворяет соотношению

то, согласно (3.44), фигурная скобка в (3.65) обращается в нуль и тогда получаем уравнение

Вместе с уравнением (3.64) это уравнение образует систему для определения вектор-функций

Отметим, что уравнение (3.66) после замены (3.47) переходит в традиционное уравнение (3.46), определяющее положение точки либрации в эллиптической ограниченной задаче трех тел.

В результате проведенных выше преобразований задача определения движения в окрестности точки либрации в точной постановке сводится к необходимости последовательного интегрирования сначала системы уравнений (3.64), (3.67) (задача I), а после определения к интегрированию системы уравнений с гамильтонианом (задача II).

Фактически тем самым шестимерная задача сведена к задаче определения двенадцати функций: . Однако задачи I и II неравноправны. При решении задачи I достаточно определить на рассматриваемом интервале времени произвольное решение с достаточно малыми А для задачи II необходимо иметь представление о поведении всех решений при достаточно малых и

Из анализа уравнений (3.64), (3.67) и входящих в него соотношений следует, что если пренебречь в этих уравнениях членами порядка и дополнительными возмущениями, то в качестве решений этих уравнений можно принять В частности, такое решение точно существует в эллиптической задаче трех тел. Оценки близости главного приближения к решению уравнений (3.64), (3.67) проведены в следующем параграфе.