ГЛАВА 5. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОМЕРНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

§ 1. Устойчивость многомерных гамильтоновых систем для большинства начальных условий. Результаты Арнольда

В этой главе будут рассмотрены некоторые задачи устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Под многомерной системой понимается динамическая система, число степеней которой больше двух или оно равно двум, но функция Гамильтона явно содержит время. Задача об устойчивости движения в таких системах полностью не решена до сих пор. Но прогресс в этой области весьма значителен, благодаря исследованиям Арнольда, Мозера, Брюно, Нехорошева и других авторов. Кратко рассмотрим полученные к настоящему времени результаты.

Остановимся сначала на результатах Арнольда по устойчивости гамильтоновых систем для большинства начальных условий [4, 102]. Пусть автономная гамильтонова система с степенями свободы устойчива в линейном приближении и между ее частотами отсутствуют резонансные соотношения до четвертого порядка включительно. Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такую систему координат, что гамильтониан запишется в виде

где -мерные векторы:

функция имеет порядок, не меньший пятого относительно и -периодична по

Если при выполнено одно из условий

то положение равновесия устойчиво для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.

В случае двух степеней свободы при выполнении неравенства (1.4) положение равновесия устойчиво по Ляпунову (в развернутом виде неравенство (1.4) в случае совпадает с условием (1.4) теоремы Арнольда — Мозера, рассмотренной в предыдущей главе).

Ни одно из условий (1.3) и (1.4) не сводится кдругому. Например, для системы с функцией Гамильтона

имеем В примере же, рассмотренном в § 5 главы 4,

для этой функции Гамильтона если

Из устойчивости для большинства начальных условий вовсе не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень слабая: время, в течение которого находится вблизи экспоненциально растет при линейном убывании возмущений.

Но диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может быть очень сильной. Примеров, подтверждающих этот факт, накопилось к настоящему времени довольно много. Простейший пример — функция Гамильтона (5.1) гл. 4. Приведем еще два примера. Первый [58] специально для случая автономной системы с тремя степенями свободы

Предполагается, что со 0 и имеет место резонансное соотношение Условие (1.4) для системы с функцией

Гамильтона (1.7) выполнено, так как Тем не менее, положение равновесия неустойчиво, что видно из существования такого частного решения:

Из (1.8) видно, что за время порядка траектория покидаег окрестность точки, сколь угодно близко расположенной к началу координат в начальный момент времени.

Второй пример для системы с двумя степенями свободы, но с явной зависимостью функции Гамильтона от времени [59]:

Величины в (1.9) связаны резонансным соотношением пятого порядка

Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия системы (1.9). Но сначала сформулируем условия устойчивости для большинства начальных данных в общем случае гамильтоновой системы с степенями свободы и периодической зависимостью функции Гамильтона от времени. Пусть, функция в гамильтониане (1.1) зависит от Введем новый «импульс» и «угол» Тогда получим автономную систему с степенями свободы. Гамильтониан имеет вид

Дифференциальные уравнения, соответствующие гамильтониану (1.10), содержат в себе дифференциальные уравнения исходной задачи с гамильтонианом (1.1). Для функции Гамильтона (1.10) неравенство (1.3) всегда не выполнено, так как значит, условие устойчивости для большинства начальных данных получается только из (1.4) и означает, как легко проверить, выполнимость неравенства

где функция, определенная равенством (1.2). Отсюда следует, что для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы и с периодической зависимостью гамильтониана от достаточным условием устойчивости для большинства начальных условий

будет выполнимость следующего неравенства:

Для функции Гамильтона так что устойчивость для большинства начальных условий есть, но имеет место неустойчивость по Ляпунову, что видно из частного решения, для которого

Отметим, что в обоих рассмотренных примерах часть гамильтониана представляет собой резонансное возмущение системы с гамильтонианом а функция подобрана так, чтобы возмущенная система допускала частные решения (1.8) и (1.13). Следует отметить также, что частоты невозмущенной системы вычисленные для частных решений (1.8) и (1.13), связаны резонансными соотношениями (теми же, что и частоты линейной системы), то есть во все время движения траектории, приводящие к неустойчивости, находятся в резонансной зоне фазового пространства.

Примеры гамильтоновых систем с быстрой диффузией Арнольда построены также в работах [78, 93]. Но, как показал Нехорошей [78, 79], в общем случае диффузия Арнольда (если она существует) является экспоненциальной. Так что рассмотренные примеры представляют собой исключения из правила. Результаты Нехорошева будут рассмотрены в § 3.