§ 2. Линейная нормализация с точностью до первой степени эксцентриситета

Функция Гамильтона, соответствующая возмущенному движению в рассматриваемой задаче, записывается в виде (3.1) (см. главу 7), где пространственные надо положить тождественно равными нулю, а эксцентриситет может изменяться в интервале Мы проведем аналитическое (при малых эксцентриситетах) и численное (при произвольных исследования.

В эллиптической задаче возможно явление параметрического резонанса. При малых значениях границы областей неустойчивости можно найти аналитически, использовав результаты §§ 6 и 7 второй главы. Параметрический резонанс обнаруживается в окрестности тех значений параметра для которых величины в нормальной форме квадратичной части функции Гамильтона

связаны при резонансными соотношениями второго порядка

Очевидно (см. главу 7), что при справедливы равенства где и корни уравнения

а изменяется в области

На рис. 13 приведена зависимость частот и от . В области (2.3) вьшолнено только одно резонансное соотношение второго порядка При этом

Расчеты по формулам § 7 главы 2 показывают, что при достаточно малых границы области устойчивости в окрестности резонансного значения с точностью до первой степени имеют вид

Рис. 13. Частоты и , линейных колебаний в окрестности точек либрации.

Эти границы в работе [160] получены с точностью до . В [160] с точностью до членов порядка получена также граница области устойчивости, исходящая из граничной точки

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной постановке. Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяющим вместе условиям устойчивости в первом приближении. Для решения задачи нужно функцию Гамильтона привести к нормальной форме, а затем, применив результаты главы 5, сделать выводы об устойчивости или неустойчивости точек либрации.

Сначала надо провести нормализацию квадратичной части функции Гамильтона. В этом параграфе построено линейное, вещественное, каноническое, -периодическое по преобразование , приводящее квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме (2.1). Нормализующее преобразование найдено с точностью до первой степени эксцентриситета.

Пусть Сделаем сначала каноническую замену переменных по формулам (4.2) главы 7, а затем — по следующим формулам:

В переменных функция примет вид

Коэффициенты получаются такими:

В формулах (2.7) введены обозначения

Теперь будем искать преобразование функции (2.7) к форме Для удобства дальнейших вычислений перейдем сначала к комплексно сопряженным переменным по формулам

В комплексно сопряженных переменных функция Гамильтона вычисляется по формуле

где функция (2.6), выраженная через согласно преобразованию (2.8). Получаем

В функции коэффициенты таковы, что

Черта означает комплексно сопряженную величину. Выражения для коэффициентов получаются следующими:

Теперь найдем преобразование функции Гамильтона (2.9) к нормальной форме в комплексно сопряженных переменных

Пусть это преобразование задается при помощи производящей функции

где

причем коэффициенты Яудчцаи надо выбрать -периодическими по Связь переменных получаётся из соотнощении

имеет место тождество

Приравнивая одинаковые одночлены в обеих частях этого тождества, получим систему десяти дифференциальных уравнений для нахождения Правые части этой системы квадратичным образом зависят от и содержат неопределенные еще величины Последние находятся из условий периодичности функций

Правые части системы дифференциальных уравнений при достаточно малых будут аналитическими функциями если рассматривать значения из интервала (2.3), исключая граничную точку области параметрического резонанса Действительно, легко проверить, что при этих значениях

где Поэтому (см. § 6 второй главы) характеристические показатели будут аналитическими функциями Учитывая еще очевидную аналитичность

по получаем, что и функции будут аналитическими по

Функции и величины будем искать в виде рядов

Подставив ряды (2.14) и (2.15) в тождество (2.13) и произведя разложение по степеням получим систему дифференциальных уравнений для Ограничимся нахождением нормализующего преобразования с точностью до первой степени эксцентриситета. Получаем систему уравнений

а для остальных восьми функций

Из условий периодичности функций получаем Периодические решения системы (2.16) — (2.17) получаются следующими:

Следует отметить, что функции содержат только первые гармоники Можно показать, рассматривая следующие приближения по что гармоника появляется в функциях с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени, не меньшей

Теперь по комплекснозначной функции найдем вещественное преобразование функции (2.6) к нормальной форме (2.1). Пусть она задается производящей функцией

Так как функция К имеет порядок то из формул преобразования

с точностью до первой степени эксцентриситета получаем

где коэффициент при первой степени в разложении функции К по степеням эксцентриситета.

Выразим К через Из формул (2.12) с точностью до первой степени эксцентриситета находим

Здесь Далее, учитывая связь комплекс канонических переменных с вещественными

в обозначая через функцию находим из формул (2.20)

Сопоставляя формулы (2.19) и (2.21), получаем . Функция

будет вещественной. При помощи формул (2.7), (2.10), (2.18) для ее коэффициентов получаем такие выражения:

Здесь введено обозначение

Таким образом, преобразование функции Гамильтона к нормальной форме с точностью до первой степени эксцентриситета найдено. Оно получается из трех пребразований: по формулам (4.2) главы 7, по формулам (2.5) и, наконец, по формулам (2.19). Коэффициенты функции К задаются формулами (2.22).