ГЛАВА 8. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

§ 1. Нормальная форма функции Гамильтона

В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных притягивающих тел предполагается круговой, но на тело бесконечно малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы следует положить только а координата и импульс нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения равновесия в атономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5.

Для исследования устойчивости надо получить нормальную форму функции Гамильтона возмущенного движения. Сначала необходимо провести нормализацию квадратичной части функции Гамильтона. Соответствующая линейная каноническая замена переменных для величин имеет вид (4.2) главы 7. Пространственные переменные при линейной нормализации не изменяются: Сделав еще замену переменных по формулам (4.4) главы 7, в которых получим квадратичную часть функции Гамильтона в виде

Если частоты не связаны резонансными соотношениями до четвертого порядка включительно, т. е. для целых чисел выполнено условие

то при помощи преобразования Биркгофа задаваемого сходящимися степенными рядами, функция Гамильтона приводится к виду

Здесь определено равенством (1.1), а функция такова:

Вычисления показывают, что условие (1.2) нарушается в нашей задаче в области устойчивости линейной системы при пяти значениях параметра соответствующих следующим пяти резонансным соотношениям:

Учитывая тот факт, что и — четные функции легко показать, что наличие резонансных соотношений (3) — (5) не приводит к появлению нулевых знаменателей при получении производящей функции, задающей преобразование Биркгофа, и потому не мешает получению нормальной формы (1.3).

Рис. 7. Коэффициенты нормализованного гамильтониана, соответствующие пространственным переменным.

При резонансах (1) и (2) нулевые знаменатели появляются. Соответствующими значениями будут значения и рассмотренные в предыдущей главе в случае плоской круговой задачи. Было показано, что при значениях равных в плоской задаче точки либрации неустойчивы. Эта неустойчивость, конечно, остается и в рассматриваемом сейчас случае пространственной задачи.

Пусть . Тогда при всех остальных значениях из области устойчивости в первом

приближении нормализованная до членов четвертого порядка включительно функция Гамильтона будет иметь вид (1.3). При этом, конечно, при всех а выражения для этих коэффициентов получены в [111] и приведены в предыдущей главе. Для остальных коэффициентов нормальной формы (1.3) получаем после проведения довольно длительных выкладок следующие выражения [63]:

Графики коэффициентов (1.5) в зависимости от представлены на рис. 7.