§ 2. О траекториях линейной задачи

Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел Земля — Луна — КА. Линеаризованные в окрестности уравнения движения КА запишутся в системе координат в таком виде (см. главу 1)

В уравнениях (2.1) точкой обозначено дифференцирование по переменной среднее движение Луны, за единицу длины принято расстояние между центрами масс Земли и Луны, равное 384 405 км, а величина вычисляется по формуле

В последнем выражении , что соответствует отношению масс Земли и Луны, равному 81,3 (это отношение масс

принято всюду в настоящей главе). Через в формуле (2.2) обозначено безразмерное расстояние от центра масс Земли и Луны до величина является корнем уравнения

Характеристическое уравнение системы (2.1) имеет вид

Так как (см. главу 1), то уравнение (2.4) имеет два действительных и две пары чисто мнимых корней Из-за существования корней точка либрации неустойчива. Величины определяют движение КА в плоскости орбиты Луны (плоскость Ьгху), движение по нормали к ней. В дальнейшем все величины считаем положительными:

Для принятого отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, числовые значения величин таковы:

Общее решение системы (2.1) имеет вид

Здесь использованы следующие обозначения:

произвольный начальный момент времени),

произвольные постоянные, значения которых определяются начальными данными в момент времени

Если начальные данные таковы, что то движение КА в линейной задаче будет условно-периодическим. В проекции на плоскость траектория КА представляет собой эллипс с центром в точке рис. 43). При этом в зависимости от значения получаются различные по размерам эллипсы, у которых отношение большой полуоси, ориентированной по оси к малой полуоси, ориентированной по оси равно

Рис. 43. Траектория КА в плоскости

Если для проведения космических операций требуется обеспечить видимость КА из наземных пунктов, то КА не должен находиться в самой точке либрации или в непосредственной близости от нее. В окрестности точки существуют зона полного затенения и зона частичного затенения КА Луной (для земного наблюдателя). На рис. 43 показаны траектория движения КА в плоскости и проекции зон затенения на эту плоскость. Траектория движения в плоскости является периодической с частотой равной в размерных единицах 0,42835 рад/сут (соответствующий период равен приблизительно 14 сут). Зоны затенения на рис. 43 обозначены цифрами 1 и 2. В проекции на плоскость зоны затенения представляют собой круги с радиусами примерно При этом, если КА находится в зоне полного затенения (зона 1), то он не будет виден ни из одной точки земной поверхности, а вне зон затенения КА будет наблюдаем из любого наземного пункта одновременно с Луной. Если в плоскости ЬАху КА движется по эллипсу с большой полуосью то будут существовать участки траектории, находящиеся в зоне прямой видимости из любой точки земной поверхности, из которой видна Луна. На этих участках траектории могут проводиться траекторные измерения, управление движением КА, осуществление сеансов радиосвязи между Землей и обратной стороной Луны и т. д.

Движение КА в направлении перпендикулярном к плоскости орбиты Луны, представляет собой гармоническое колебание

с частотой равной в размерных единицах 0,41077 рад/сут. Колебание по оси не связано с движением КА в плоскости Если в плоскости также совершает периодическое движение с частотой то проекция траектории движения КА на плоскость ортогональную к линии Земля — Луна, представляет собой сложную кривую, заполняющую некоторую замкнутую область (рис. 44). При этом будут существовать интервалы времени, в течение которых КА не будет виден из наземных пунктов, так как будет находиться за Луной в зоне затенения. Для многих практических приложений это может оказаться нежелательным. Таким образом, возникает одна из задач управления движением КА в окрестности точки при помощи активной системы управления получить такую траекторию движения КА, чтобы он постоянно был виден из любого наземного пункта вместе с Луной (задача синхронизации). В работах [38, 126, 128, 141] для решения задачи синхронизации используются управления периодом колебания вдоль оси Синхронизация периода движения КА по оси и в плоскости достигается увеличением частоты колебания по оси на величину Для этого требуется периодически корректировать орбиту КА, сообщая импульсы в направлении, коллинеарном оси При этом, если амплитуды колебаний по осям равны, а разность фаз этих колебаний равна 90°, то в плоскости будет двигаться по почти круговой орбите (галоорбите). Если еще при этом амплитуды колебаний превосходят величину то КА будет все время виден вместе с Луной из любого наземного пункта и будет двигаться по кривой, близкой к окружности, концентрической с окружностью диска Луны.

Рис. 44. Вид траектории КА с Земли.

Различные вопросы, связанные с удержанием КА вблизи и задачи управления движением КА в окрестности галоорбиты рассмотрены в работах