§ 5. Формальная техника применения преобразования Ли
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона
с гамильтонианом
Построим в явном виде несколько членов рядов, задающих преобразование, приводящее гамильтониан к виду
Каноническое преобразование 
представим в виде рядов
а обратное — при помощи рядов
Далее, любую аналитическую функцию
после преобразования 
запишем в виде ряда 
Рекуррентные вычисления начинаются с того, что выписываются очевидные соотношения
Далее (см. (4.25)), нахождение членов первого порядка приводит к рассмотрению следующего линейного уравнения в частных производных:
Наложив на функцию 
какие-либо требования (например, чтобы она тождественно обращалась в нуль, не содержала коротко
периодических членов или удовлетворяла каким-либо другим ограничениям, вытекающим из содержания рассматриваемой физической задачи), можно из (5.12) вычислить функцию 
и подсчитать следующие функции:
необходимые для использования теории возмущений с точностью до членов первого порядка относительно 
Для вычисления членов второго порядка предварительно находим
Дифференциальное уравнение для нахождения 
имеет вид
Выбрав 
как это требуют условия исследуемой задачи, найдем из (5.15) функцию 
Члены второго порядка искомых разложений будут затем подсчитываться согласно формулам
Чтобы найти члены третьего порядка, сначала следует вычислить такие функции:
Дифференциальное уравнение для 
имеет вид
Найдя из этого уравнения функцию 
можно вычислить затем члены третьего порядка искомых разложений
Процедуру построения разложений (5.3) -(5.7) и (5.9) можно аналогично продолжить до любого порядка относительно 
используя соотношения (3.6), (3.7), (3.11)-(3.13), (3.20), (3.21), (4.7), (4.17) и (4.24)-(4.27).
