§ 7. Нахождение областей параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру

Пусть величины в гамильтониане (6.5) зависят он некоторого параметра а. И пусть при значении а, равном в изучаемой механической системе возникает параметрический резонанс, т. е. выполняется хотя бы одно из соотношений

Когда соотношение (7.1) выполняется для т. е. когда

говорят о простом резонансе, параметрический резонанс, для которого в (7.1) к , называют комбинационным. В этом параграфе мы покажем, что, как при простом, так и при комбинационном резонансах, при любом сколь угодно малом значении может существовать область неустойчивости, и в плоскости найдем ее границы с точностью до первой степени параметра

Будем предполагать, что выполняется только одно из резонансных соотношений (7.1). И так как в этом соотношении участвуют не более двух частот, то, без ограничения общности, задачу о параметрическом резонансе будем рассматривать для механических систем с двумя степенями свободы. Если бы число степеней свободы было больше двух, то переменные могли быть исключены из при помощи канонической замены переменных. Это будет видно из проводимого ниже анализа (число (7.13) для одночленов, содержащих , не будет

целым, так как существует только одно резонансное соотношение (7.1) и оно связывает только частоты

Пусть в (6.5) квадратичная форма записана в виде

целые неотрицательные числа. Будем считать, что функции в их представлении в виде рядов Фурье не содержат нулевых гармоник. В противном случае часть не зависящую от мы включили бы в Найдем область изменения параметра а вблизи его резонансного значения для которой линейная система

соответствующая функции Гамильтона (6.5), неустойчива. Будем считать, что при выполнены неравенства

Введем комплексно сопряженные канонические переменные соотношениями

Валентность канонического преобразования (7.4) равна Новый гамильтониан равен где есть функция Гамильтона (6.5), выраженная через по формулам (7.4). Разлагая еще <тк в ряд в окрестности получим

Точками в (7.5) обозначены члены не ниже второго порядка относительно величин и Коэффициенты связаны соотношениями

Явные выражения коэффициентов через коэффициенты гамильтониана (6.4) таковы:

Сделаем каноническую замену переменных по формулам

где производящая функция имеет вид

Функции подберем -периодическими и такими, чтобы в новом гамильтониане члены порядка приняли по возможности наиболее простой вид. Из (7.7) получаем явный вид преобразования с точностью до членов порядка

где в функции переменные заменены на В переменных новая функция Гамильтона вычисляется по формуле [161

где есть функция (7.5), выраженная через по формулам (7.8). Из (7.5) и (7.8) — (7.9) получаем такое выражение для совокупности членов пропорциональных первой степени

где через обозначен оператор

Приравняв в тождестве (7.10) коэффициенты при получим дифференциальное уравнение для

Рассмотрим это уравнение подробно. Для простоты записи у функций не будем писать индексы и введем

обозначение

Из общего решения уравнений (7.12):

следует, что если число не будет целым, то при любой функции решение будет -периодическим, если

В этом случае, следовательно, можно положить Если же число целое, то при а периодическое решение уравнения (7.12), вообще говоря, не существует. Чтобы оно существовало, следует положить

где

и периодическое решение уравнения (7.13) будет иметь вид

при произвольном значении В любом олучае коэффициенты производящей функции связаны соотношением

а потому новые переменные как это легко проверить при помощи (7.8), будут комплексно сопряженными.

Проведя такое исследование уравнения (7.12), рассмотрим случай комбинационного резонанса Функция Гамильтона (7.9) в этом случае может быть приведена описанным выше способом к виду

где

Теперь введем вещественные переменные соотношениями

Преобразование (7.17) является каноническим с валентностью В переменных функция Гамильтона будет иметь вид

Величины выражаются через коэффициенты Фурье, соответствующие гармонике некоторой линейной комбинации функций входящих в исходный гамильтониан (6.4). Используя (7.6), получаем для них такие выражения:

Сделаем еще одну каноническую замену переменных

где

Тогда изменение переменных будет описываться дифференциальными уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона

Выпишем соответствующие дифференциальные уравнения, пренебрегая членами выше первого порядка относительно

Очевидно, что в первом приближении по задача об устойчивости относительно у в исходной системе с функцией Гамильтона (6.4) эквивалентна задаче об устойчивости относительно в системе (7.22). Покажем, что в первом приближении по область параметрического резонанса задается неравенствами

и что если эти неравенства не выполняются, то система (7.22) устойчива.

Действительно, второе утверждение следует из того, что функция

является интегралом системы (7.22), который как легко проверить, будет знакоопределенным, если неравенства (7.23) не выполняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова, система (7.22) устойчива. Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (7.23) экспоненциально растущего со временем решения системы (7.22):

Случай простого параметрического резонанса рассматривается аналогично. Пусть, например, выполняется соотношение Тогда область параметрического резонанса в первом приближении по задается неравенствами

где теперь , а величны выражаются через коэффициенты исходного гамильтониана по формулам