§ 10. Нелинейная нормализация. Условия устойчивости

Рассмотрим сначала такие значения параметров которые принадлежат резонансным кривым третьего или четвертого порядка. Прежде всего отметим, что, согласно [157], в случае выполнения резонансного соотношения (11.4) при 0 будет иметь место формальная устойчивость рассматриваемого периодического движения.

Если параметры принадлежат резонансной кривой, то форму третьего порядка в функции Гамильтона (9.1) можно привести к виду

где постоянная величина. Процесс нормализации формы (9.2) полностью аналогичен нормализации квадратичной части функции Гамильтона, которая подробно описана в § 8. Если в (10.1) а то (см. § 6 гл. 6) будет иметь место неустойчивость рассматриваемого периодического движения. В случае вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка в разложении функции Гамильтона (9.1).

Пусть теперь параметры задачи таковы, что резонансы третьего порядка отсутствуют. В этом случае форму третьего порядка в разложении функции Гамильтона можно уничтожить полностью. При этом в форме четвертого порядка (9.3) меняются только члены (и члены более высокого порядка, обозначенные в (9.3)

точками) и они теперь принимают вид (см. (5.8))

В (10.2) и в других формулах действие операторов аналогично действию операторов в (9.2), (9.3).

Нормализация формы (9.3) (с учетом модифицированных членов из разбивается на три независимые друг от друга части.

1) Нормализация членов, пропорциональных Эти члены уже нормализованы.

2) Нормализация членов, пропорциональных Можно показать, что нормализация этих членов сводится к усреднению величины по быстрым фазам движения, определяемого гамильтонианом (8.19), а нормальная форма этих членов будет такой

3) Нормализация членов, не зависящих от Последний этап аналогичен процедуре линейной нормализации, и в результате нелинейной нормализации функцию Гамильтона возмущенного движения можно привести к виду

где коэффициенты формы (10.5) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований и имеют разложение по аналогичное разложению величин В (10.3) функция К имеет порядок относительно более высокий, чем функции (10.4) — (10.6), и является -периодической функцией переменных Нормальная форма (10.3) выписана для случая резонанса четвертого порядка (9.4), а в нерезонансном случае в (10.3) будут отсутствовать члены (10.6).

Рассмотрим случай резонанса четвертого порядка, т. е. будем предполагать, что выполнено соотношение (9.4) при и Если

то (см. § 6 гл. 6) рассматриваемое периодическое движение будет неустойчиво. При обратном знаке в неравенстве (10.7) в случае плоской задачи (т. е. при имеет место устойчивость по Ляпунову, а в случае пространственной задачи — устойчивость в четвертом приближении.

Пусть теперь параметры таковы, что они принадлежат области устойчивости линейной задачи, а резонансов третьего и четвертого порядков нет, т. е. в разложении (10.3) члены (10.6) отсутствуют.

Рассмотрим плоскую задачу (в (10.3) — (10.5) надо положить Пусть

Тогда, согласно теореме Арнольда — Мозера об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы (см. главу 4), исследуемое периодическое движение (5.15) будет устойчиво. Если то вопрос об устойчивости членами этого порядка не решается.

Для пространственной задачи, описываемой многомерной гамильтоновой системой, такого завершенного результата получить не удается. Пусть определители

при одновременно в нуль не обращаются. Тогда, согласно 14, 102] (см. также § 1 главы 5), имеет место устойчивость исследуемого периодического движения для большинства начальных условий.

В рассматриваемой задаче, помимо устойчивости для большинства начальных условий, решался еще вопрос о формальной устойчивости периодических движений.

Достаточное условие формальной устойчивости, применявшееся в работе [58] (см. также главу 8), в рассматриваемой задаче сводится к вопросу о совместности системы уравнений

относительно в области Нетрудно показать

(исключив из (10.10)), что в свою очередь вопрос о совместности этой системы уравнений сводится к вопросу о знакоопределенности при формы

где

Пусть

Если или если но все коэффициенты (10.12) имеют одинаковые знаки, то форма будет знакоопределенной при

Для того чтобы в нерезонансном случае при достаточно малых значениях параметра сделать заключение об устойчивости в плоской задаче или заключения об устойчивости для большинства начальных условий и о формальной устойчивости в пространственной задаче, достаточно вычислить коэффициенты форм (10.4) и при значении параметра равном нулю.