§ 5. Неустойчивость в случае целого числа 3L

К функции Гамильтона (4.12) теперь легко применить преобразование Биркгофа. Введем канонические переменные при помощи -периодической по производящей функции

Связь новых и старых переменных получается из формул

Новая функция Гамильтона старая функция Гамильтона и производящая функция связаны тождеством относительно

Если число не будет целым, то в новой функции Гамильтона можно полностью уничтожить члены третьей степени. Проведя несложные выкладки, получим, что для этого -периодические функции следует взять такими:

Из тождества (5.3) при таком выборе получаем члены четвертой

степени в виде

Если целое число), то полностью уничтожить нельзя. Как показывают простые вычисления, гамильтониан в этом случае при помощи преобразования Биркгофа можно привести к виду

где

функция в -периодична

Теорема. Если то положение равновесия системы (3.1) неустойчиво по Ляпунову.

Для доказательства отметим сначала тот очевидный факт, что задачи об устойчивости относительно х, у в системе (3.1) и относительно в системе с гамильтонианом (5.8) эквивалентны. Далее, сделаем такую замену переменных:

Изменение переменных будет описываться дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона импульс, координата)

Возьмем функцию Ляпунова

Ее производная в силу уравнений движения с функцией Гамильтона (5.10) будет такой:

Так как функция V — знакопеременная, а ее производная (5.12) — определенно-положительная в окрестности начала координат, то, согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, положение равновесия неустойчиво.