§ 2. Алгоритм линейной нормализации с точностью до второй степени эксцентриситета

Найдем линейное каноническое -периодическое преобразование, нормализующее квадратичную часть гамильтониана возмущенного движения (см. разложение (3.1) в главе 7). С точностью до первой степени эксцентриситета такое преобразование найдено в § 2 предыдущей главы. Там же (в § 3) были найдены (с точностью до членов норядка выражения для величин и в нормальной форме квадратичной части гамильтониана

(Отметим, что в рассматриваемой пространственной задаче вели чина Теперь покажем, как найти нормализующее пре образование с точностью до членов порядка

Сначала сделаем преобразование по формулам (4.2) седьмой главы, а затем — преобразование по формулам (2.5) девятой главы. После этих двух преобразований квадратичная часть функции Гамильтона запишется в виде

где вычисляется по формуле (2.6) предыдущей главы. Так как часть гамильтониана соответствующая пространственным движениям, уже имеет нормальную форму, то в дальнейшем проведем нормализацию только функции

Чтобы не вводить дополнительных обозначений, переменные, которые будут введены нормализующим преобразованием, обозначим, как и исходные переменные, через Пусть производящая функция преобразования

Функцию ищем -периодической Коэффициенты и величины представим в виде рядов

Величины найдены в предыдущей главе. Они вычисляются по формулам (2.22). Величины находятся из условий периодичности функций В предыдущей главе найдено, что

вычисляются по формулам (3.2). Кратко опщаем теперь, как найти функции Подставив в тождество

разложения (2.3), (2.4) и приравняв в его обеих частях члены при второй степени получим для функций систему десяти линейных неоднородных дифференциальных уравнений, распадающуюся на три системы: две третьего и одну четвертого порядков.

Если величины вычисляются по формулам (3.2) девятой главы, то эти системы имеют -периодическое решение.

После того как найдены функции получим выражение переменных через С точностью до членов порядка связь новых и старых переменных задается при помощи следующих формул:

где элементы матриц получаются такими:

Таким образом, линейное нормализующее преобразование с точностью до членов порядка найдено.