§ 4. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами

Рассмотрим задачу об устойчивости гамильтоновой системы (1.1). Считаем, что непрерывная, -периодическая по вещественная симметрическая матрица. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом

специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Несколько ниже мы сформулируем и докажем эту теорему, а предварительно рассмотрим так называемые возвратные уравнения.

Уравнение

называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от крайних членов, равны между собой, т. е. в записи

Для возвратного уравнения справедливо тождество

и, наоборот, если выполнено (4.2), то уравнение (4.1) возвратное. Из (4.2) следует, что возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет своим корнем число Если четное число, то при помощи подстановки

возвратное уравнение сводится к уравнению степени относительно

Имеют место следующие легко проверяемые [21] свойства корней возвратного уравнения: если у уравнения есть корень то кратность его четная; если есть корень то его кратность четная при четном и нечетная при нечетном если уравнение имеет корень то оно имеет также и взаимно обратный корень той же кратности.

Теорема Ляпунова-Пуанкаре. Если матрица линейной гамильтоновой системы (1.1) — -периодическая по то характеристическое уравнение

— возвратное.

Доказательство. Во-первых, докажем, что матрица фундаментальных решений симплектическая, т. е. справедливо тождество

В самом деле, при равенство (4.4), очевидно, справедливо,

а вычислив производную правой его части, получим

Поэтому равенство (4.4) справедливо при всех

Во-вторых, отметим, что из теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема [16] следует, что

Теперь можно проверить, что уравнение (4.3) — возвратное. Имеем

Значит, характеристическое уравнение (4.3) — возвратное, и теорема Ляпунова — Пуанкаре доказана.

Укажем важнейшие следствия этой теоремы:

1) линейная гамильтонова система (1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы расположены на единичной окружности и матрица приводится к диагональной форме;

2) мультипликаторы имеют одинаковую кратность;

3) если характеристическое уравнение (4.3) имеет корень или то эти корни имеют четную кратность.