§ 5. Эллиптическая задача

5.1. Предварительное преобразование гамильтониана. Для дальнейшего исследования сделаем следующие упрощающие предположения:

1) В задаче учитываются только гравитационные силы, причем поля тяготения Земли и Луны центральные. При этом функции К в (3.1), К в (3.42) тождественно равны нулю и вместе с ним тождественно равны нулю в (3.36), а и а в (3.67).

2) Пренебрежем возмущающим влиянием Солнца, положив в уравнениях движения Тогда из (3.7) следует, что

и из соотношений (3.9) и (3.43) получаем

Проектируя теперь левую часть уравнения (3.44) на оси ординат и абсцисс, получаем соответственно такие скалярные уравнения:

Из уравнения (5.2) следует интеграл площадей

а решение уравнения (5.3) определяет эллиптическое движение Луны

где а и большая полуось и эксцентриситет орбиты,

переменная истинная аномалия эллиптического движения Луны:

Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположениях уравнения (3.64) и (3.67) удовлетворяются решениями Таким образом, мы приходим к задаче о движении тела пренебрежимо малой массы вблизи коллинеарной точки либрации эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эта задача описывается функцией Гамильтона (3.36), в которой надо положить

Используя соотношение (5.7), введем новую независимую переменную — истинную аномалию и вместо вектора (компоненты которого имеют размерность константы площадей) безразмерный вектор согласно следующим формулам канонического преобразования

Тогда гамильтониан задачи запишется в таком виде:

Величины определены равенствами (3.46), (3.47):

Ниже используются следующие обозначения для компонент векторов

а также обозначение для вектора х, составленного из компонент векторов

Мы интересуемся движениями, для которых КА не покидает достаточно малую окрестность точки Будем поэтому считать малыми величинами, причем малыми первого порядка. Гамильтониан (5.10) содержит еще один малый параметр — эксцентриситет орбиты Луны. Его считаем величиной первого порядка малости. Дальнейшие преобразования основаны на предполагаемой малости величин Поэтому целесообразно представить гамильтониан в виде суммы

Функции можно представить в виде рядов по степеням эксцентриситета

где не зависят от Обозначим

Используя выражение для гамильтониана (5.10) и формулы (5.11)- (5.15), нетрудно показать, что функции имеют следующий вид:

при

Используемый нами метод состоит в нахождении нормальной формы гамильтониана (5.10) и соответствующего нормализующего преобразования. Общее решение системы, описываемой функцией Гамильтона, имеющей нормальную форму, может быть найдено в замкнутом виде. Зная нормализующее преобразование и преобразование, обратное ему, легко получить приближенные значения начальных координат и компонент вектора скорости, реализующих интересующие нас движения, близкие

Нормальную форму гамильтониана (5.10) можно в принципе получить в сколь угодно высоком приближении относительно малых параметров. Мы ограничимся получением решения с точностью до величин третьего порядка малости относительно начальных значений координат и импульсов и величины эксцентриситета Для этого нормальную форму гамильтониана следует получить с точностью до величин четвертого порядка малости включительно. Это означает, что при нормализации квадратичной части гамильтониана (5.10) надо учесть степени эксцентриситета до второй включительно; при нормализации членов третьего порядка до первой степени а при нормализации совокупности членов четвертого порядка величиной эксцентриситета можно пренебречь. Формы для также можно не рассматривать.

5.2. Нормализация квадратичной части гамильтониана. Для получения нормальной формы функции Гамильтона (5.10) и соответствующего нормализующего преобразования надо сначала произвести нормализацию квадратичной части Последовательность действий будет такой: 1) нормализация исключение из гамильтониана членов, пропорциональных исключение членов, пропорциональных

Проведем нормализацию Для переменных нормализующая замена переменных имеет вид

Нахождение канонического нормализующего преобразования для переменных , соответствующих плоской задаче,

более сложно. После проведения некоторых вычислений (см. работу [39]) получим, что преобразование приводящее к нормальной форме часть гамильтониана соответствующую плоской задаче, имеет вид

где элементы симплектической матрицы вычисляются по следующим формулам:

В (5.23) введены такие обозначения:

После проведения преобразований (5.21) и (5.22) нужно при помощи канонической, -периодической по линейной замены переменных исключить из гамильтониана члены, содержащие эксцентриситет с точностью до второй степени включительно. Нахождение этого преобразования совершенно аналогично соответствующим рассмотрениям глав 9 и 10, где подробно описана нормализация функции Гамильтона в окрестности треугольной точки либрации. Поэтому мы не будем здесь проводить подробных вычислений, а сразу приведем конечный результат. Замену переменных можно представить в виде

Здесь единичные матрицы соответственно четвертого и второго порядков, В, и постоянные матрицы также четвертого и второго порядков. Нормализованная до членов порядка включительно квадратичная часть функции Гамильтона имеет вид

где Величины а также элементы матриц , вычисленные для значения соответствующего отношению масс Земли и Луны, равному 81,3, таковы:

(см. скан)

(см. скан)

Подробное описание вычислительной процедуры получения нормализующего преобразования (5.24), как и всех следующих ниже нормализующих заменах переменных, имеется в работе [39].

Таким образом, мы получили (с точностью до каноническое преобразование гамильтониана к нормальной форме (5.26). Это преобразование задается формулами (5.21), (5.22), (5.24) и (5.25). Обратное преобразование легко получить, вычислив соответствующие обратные матрицы.

5.3. Исключение членов третьей степени относительно координат и импульсов. После нормализации квадратичной части новая функция Гамильтона с точностью до величин четвертого порядка малости относительно запишется, как

легко проверить, в виде Здесь есть функция это функции в которых переменные выражены через при помощи матрицы, задающей преобразования (5.21) — (5.22). Формы третьей степени в (5.27) не зависят от а переменные и входят в них только квадратичным образом.

Каноническое преобразование исключающее из гамильтониана (5.27) члены третьей степени

зададим при помощи производящей функции вида

Структура форм аналогична структуре форм Подберем их так, чтобы в новой функции Гамильтона отсутствовали члены третьей степени относительно

Из тождества, связывающего новую и старую функции Гамильтона с производящей функцией канонического преобразования, получим три уравнения относительно

где через обозначен следующий оператор:

В формах входящих в (5.29), величины заменены на

Приравняв в обеих частях уравнений (5.29) одночлены при одинаковых степенях получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов искомых форм Из-за того, что содержатся в квадратично, многие из коэффициентов форм будут равняться нулю. Коэффициенты форм были вычислены на ЭВМ.

Каждую из этих форм зададим в виде суммы

где суммирование ведется по целым неотрицательным числам сумма которых равна трем. Числовые значения коэффициентов

Таблица 21 (см. скан)

приведены в табл. 21. Невыписанные в табл. 21 коэффициенты форм равны нулю.

Связь между новыми переменными и старыми с точностью до величин третьего порядка малости относительно задается формулами

Здесь в формах вместо аргументов стоят величины Обратное преобразование с той же точностью запишется в виде

В этих формулах формы имеют своими аргументами переменные

5.4. Нормализация совокупности членов четвертого порядка. В переменных введенных в предыдущем параграфе, гамильтониан задачи с точностью до членов четвертого порядка относительно будет таким:

где вычисляется по формуле (5.26), а имеет вид

В (5,34) - функции переменных

Теперь сделаем каноническую замену переменных при помощи производящей функции

Коэффициенты формы четвертой степени подберем так, чтобы в новых переменных члены четвертой степени в гамильтониане имели нормальную форму

В (5.36) величины константы, являющиеся инвариантами исходной функции Гамильтона относительно канонических преобразований. Процедура нахождения формы и коэффициентов нормальной формы (5.36) весьма стандартна (см. преобразование Биркгофа в § 1 главы 3), и потому мы здесь на ней не останавливаемся. Форму будем представлять в виде такой суммы:

где суммирование происходит по целым неотрицательным числам сумма которых равна четырем. Числовые значения коэффициентов формы были получены на ЭВМ. Эти значения сведены в табл. 22. Невыписанные коэффициенты формы равны нулю. Коэффициенты входящие в нормальную форму (5.36) членов четвертого порядка в новой функции Гамильтона, имеют следующие числовые значения:

С точностью до величин третьего порядка малости старые переменные выражаются через новые согласно формулам

Замена переменных, обратная (5.37), с той же точностью задается формулами

Таким образом, мы нашли вещественное каноническое преобразование приводящее функцию Гамильтона (5.10), описывающую движение космического аппарата относительно точки либрации к нормальной форме, содержащей величины до четвертого порядка малости включительно относительно Это преобразование схематически выглядит так: (линейное преобразование, приводящее к нормальной форме квадратичную часть гамильтониана; см. формулы (5.21), (5.22) и (5.24), (5.25)); 2) (исключение из функции Гамильтона членов третьей степени относительно координат и импульсов; см. формулы (5.31), (5.32)); 3) (нормализация совокупности членов четвертой степени; см. формулы (5.37), Согласно указанной схеме, исходные величины легко вычисляются по известным значениям и наоборот.

Таблица 22 (см. скан)

5.5. Общее решение нормализованной системы. Условно-периодические движения. В переменных функция Гамильтона с точностью до величин четвертого порядка малости относительно запишется в виде

Общее решение соответствующей системы дифференциальных уравнений определяется формулами

Через в (5.42) обозначено значение истинной аномалии в начальный момент времени Величины играют роль произвольных постоянных интегрирования.

Общее решение (5.40) — (5.42) вместе с формулами нормализующих преобразований и координатных переходов позволяет для любого момента времени получить приближенные значения координат и компонент вектора скорости космического аппарата в абсолютной системе координат.

Движение космического аппарата в окрестности в силу существования в общем решении экспоненциально возрастающих функций времени, неустойчиво. Но если начальные условия выбрать так, чтобы

то, согласно (5.40), (5.41), движение космического аппарата вблизи будет условно-периодическим (в рамках рассмотренного приближения). Если же начальные условия таковы, что выполняется только одно из равенств (5.44):

то движение космического аппарата также будет происходить вблизи а с увеличением оно будет асимптотически приближаться к условно-периодическому движению.