§ 3. Оценка скорости диффузии Арнольда. Результаты Нехорошева

В § 1 построены простые примеры многомерных гамильтоновых систем, которые устойчивы для большинства начальных условий, но по Ляпунову неустойчивы. Скорость диффузии Арнольда в примерах § 1 оказалась весьма значительной. Однако, как правило, диффузия Арнольда (если она существует) должна быть экспоненциальной, что показано Нехорошевым в его работах [78-80].

Нехорошев изучал системы с аналитической функцией Гамильтона вида

где Функция Н -периодична по угловым переменным Нехорошевым доказана экспоненциальная оценка сверху скорости диффузии Арнольда при условии, что крутая функция. Определение крутых функций дано в [81]. Непосредственная проверка условий крутизны сложна, поэтому мы не приводим здесь этого определения. Некоторые важные достаточные условия крутизны, полученные Нехорошевым, приведены ниже.

Примерами крутых функций являются функции следующего вида.

Определение [80]. Функцию определенную в области евклидова пространства назовем квазивыпуклой, если для каждой точки из выполнены условия:

б) сужение квадратичной компоненты

разложения функции в этой точке на гиперплоскость

касательную к поверхности уровня функции, знакоопределенно; здесь

Для функций Но от двух переменных достаточным условием крутизны является отличие от нуля определителя в формуле (1.4) на стр. 88.

Пусть Нехорошев показал, что если в (3.1) функция будет крутой, то существуют константы такие, что для каждого решения

где

Для констант а и получены такие значения:

где и а зависят только от и удовлетворяют неравенствам

(причем для квазивыпуклых функций, и только для них, равенство достигается) и

(причем для квазивыпуклых функций равенство достигается).

Требование крутизны функции существенно. В примерах, рассмотренных в § 1, функции (см. (1.7) и не являются крутыми.

Приведем два достаточных условия крутизны для функций от трех переменных [80]. Функция будет крутой в некоторой области, если

1) для всех точек этой области определитель (1.4) отрицателен;

2) для каждой точки I этой области этот определитель больше нуля и система

не имеет решений, кроме тривиального Здесь

Функция «общего положения» удовлетворяет одному из приведенных достаточных условий крутизны. Отметим, что выполнение условия 1) означает несовместность (при системы (3.7) и (3.8) и, значит, при условии 1) функция квазивыпукла.

Пусть изучается движение в системе с -периодической по аналитической функцией Гамильтона

Введением «импульса» и «угловой переменной» задача сводится к автономной системе с тремя степенями свободы, и несовместность (при системы двух уравнений

будет достаточным условием крутизны функции значит, условием, достаточным для применимости опенок (3.2) - (3.6).