ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 1. Преобразование Биркгофа

В этой главе изучается устойчивость положений равновесия гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Предполагается, что функция Гамильтона аналитична относительно координат и импульсов в достаточно малой окрестности положения равновесия (совпадающего с началом координат) и -периодична по независимой переменной — времени Рассматривается только тот случай, когда линеаризованная система устойчива (так называемый эллиптический случай).

При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений

где II — аналитическая функция относительно Предполагается, что она либо непрерывна и -периодична по либо от не зависит. Начало координат является положением равновесия, так что разложение начинается с квадратичных членов

где однородный многочлен степени к относительно координат и импульсов

Если предположить, что линеаризованная система (1.1) устойчива, а ее мультипликаторы различны, то без ограничения общности (см. §§ 2 и 5 главы 2) можно считать, что имеет нормальную форму

Тот факт, что мультипликаторы линейной системы различны, означает, что характеристические показатели таковы, что в системе отсутствуют резонансы до второго порядка включительно, т. е. число

при целых числах удовлетворяющих неравенствам

В случае автономной системы знак в (1.4) надо заменить на знак

В системе (1.1) сделаем каноническую замену переменных при помощи формул

где вещественную однородную третьей степени по функцию попытаемся подобрать так, чтобы она была -периодической по а в новых переменных функция Гамильтона не содержала бы членов третьего порядка относительно Функция может быть записана в виде

где коэффициенты либо постоянны, либо -периодичны по Величины целые неотрицательные числа. Функцию ищем в виде, аналогичном (1.7):

где подлежащие выбору коэффициенты постоянны (если постоянны коэффициенты либо -периодичны по (если -периодичны по коэффициенты

Соотношения (1.6), рассматриваемые как уравнения относительно показывают, что величины (на основании теоремы о неявной функции) при достаточно малых будут аналитическими функциями в окрестности начала координат Отсюда следует, что

где невыписанные члены имеют порядок выше второго относительно

Новый гамильтониан вычисляется по формуле [16]

где правая часть формулы (1.10) выражается через по формулам канонической замены переменных (1.9). Подставив (1.2), (1.3) и (1.9) в правую часть (1.10), получим

а невыписанные члены имеют порядок, не меньший четвертого относительно

Чтобы в функции Гамильтона не содержалось членов третьего порядка нужно потребовать выполнения следующего тождества:

Чтобы из (1.12) найти коэффициенты функции , удобно перейти к комплексным переменным. Положим

Здесь через обозначена мнимая единица .

Нетрудно проверить, что тождество (1.12) в комплексно сопряженных переменных перепишется в виде

где

Введем обозначения

Здесь комплексные коэффициенты, которые связаны с коэффициентами при помощи линейной системы алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Приравнивая в тождестве (1.14) нулю коэффициент при получим линейное дифференциальное уравнение для нахождения

Пусть исходная функция Гамильтона (1.2) не зависит от времени. Тогда вместо дифференциального уравнения (1.17), для нахождения получим алгебраическое уравнение

Справедливы следующие соотношения:

Таким образом, если величины не связаны резонансными соотношениями до третьего порядка включительно, т. е. если

то, выбрав величины согласно формулам

получим новую функцию Гамильтона такой, что в ней будут отсутствовать члены третьего порядка по

Если в (1.16) будет сделана замена переменных, обратная (1.13), то придем к вещественной замене переменных (1.9).

Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи канонической замены переменных уничтожить члены четвертой степени в гамильтониане. Это, однако, не удастся сделать, и в новом гамильтониане останутся некоторые члены, имеющие вполне определенную структуру.

Если величины не удовлетворяют ни одному и» резонансных соотношений до четвертого порядка включительно, т. е.

то в гамильтониане можно уничтожить все одночлены четвертого порядка, кроме тех, которые содержат в

одинановых степенях. Действительно, уравнение (1.18) неразрешимо, если Тогда в

останется совокупность одночленов вида

В переменных эта совокупность одночленов в имеет вид

где вещественные величины.

И, вообще, для автономной гамильтоновой системы справедливо следующее утверждение. Если частоты колебаний линейной системы не связаны резонансными соотношениями до порядка включительно, т. е.

то существует вещественное каноническое преобразование задаваемое сходящимися в окрестности начала координат рядами, такое, что функция Гамильтона (1.2), выраженная через имеет нормальную форму

где И — многочлен степени относительно и Н - сходящийся ряд по степеням начинающийся с членов порядка

Это утверждение нетрудно доказать методом математической индукции. Отметим, что постоянные коэффициенты многочлена не зависят от порядка нормализованных членов и от способа приведения функции (1.2) к нормальной форме (1.25): они являются инвариантами гамильтониана (1.2) относительно канонических преобразований [11, 12, 29].

Для случая -периодической по функции Гамильтона (1.2) результаты аналогичны. Существование -периодического решения уравнения вида (1.17) было нами уже подробно исследовано (см. уравнение (7.12) второй главы). Выводы, которые получаются в этом случае, аналогичны только что сформулированным для случая автономной системы. Только в (1.24) знак надо заменить

на знак а нормализующее преобразование и функция Н будут -периодическими по

Если величины таковы, что условия (1.24) выполняются при любых сколь угодно больших то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона во всех порядках. И тогда нормализованный гамильтониан будет зависеть только от переменных которые будут интегралами преобразованной системы. Но каноническое преобразование Биркгофа, нормализующее гамильтониан во всех порядках, будет, как правило, расходящимся [11, 12, 29, 30]. Поэтому и интегралы будут формальными, т. е. они представляются в виде расходящихся рядов по

В дальнейшем мы обычно будем проводить нормализацию функции Гамильтона лишь до конечного (и даже сравнительно невысокого) порядка. Так что, как правило, применяемое нами преобразование Биркгофа будет аналитическим.