§ 4. Некоторые оценки

4.1. Оценки ускорений, действующих на КА. Для выбора и обоснования физической модели движения КА нам потребуется провести оценки реально действующих ускорений в окрестности точки системы Земля — Луна. Воспользовавшись формулами (3.36) — (3.39), можно оценить ускорения, вызываемые

различными факторами в относительном движении КА, описываемом функцией Гамильтона (3.36). Эти ускорения зависят от величины Приведенные в табл. 20 числовые значения получены для что соответствует орбитам КА, удаленным от точки примерно на

Оценка для ускорения от сил светового давления получена для отношения площади поперечного сечения КА к его массе, равного оценки влияния сжатия Земли, Луны и притяжения планет дают величину, меньшую, чем

Таблица 20

Для описания движения КА, кроме зависимостей необходимо найти решение уравнений (3.64) и (3.67), определяющих движение относительной системы координат. Эти уравнения имеют приближенное решение которое мы называем «подвижной точкой либрации». Степень его приближенности определяется малыми ускорениями, обусловленными влиянием Солнца и другими возмущениями а и а. Оценки показывают, что эти ускорения имеют порядок для сил светового давления, для сил гравитационного притяжения Солнца и они много меньше для остальных возмущающих факторов.

4.2. Вынужденные колебания КА вблизи «подвижной точки либрации», обусловленные гравитационными солнечными возмущениями. Найдем частное решение уравнений (3.64) и (3.67), определяющее вынужденные колебания КА, близкие к «подвижной точке либрации». Аналогичная задача о вынужденных колебаниях в случае плоской задачи при учете гравитационных солнечных возмущений рассмотрена в работе [162]. Для проведения исследования вынужденных колебаний удобно исключить из уравнений (3.64), (3.67) величину а и рассмотреть получающееся при этом

дифференциальное уравнение для вектор-функции х

Для приближенного вычисления вынужденных колебаний КА пренебрежем нецентральностью гравитационных полей Луны и Земли, а также всеми негравитационными возмущениями, положив в (4.1) величины а и а тождественно равными нулю. Орбиты Луны и Земли будем предполагать круговыми. Продолжительности сидерического и синодического месяцев примем соответственно равными 27,3216614 и 29,5305887 сут [23]. Это соответствует таким средним угловым скоростям Луны и Земли: рад/сут и рад/сут. Отсюда

Большие полуоси (в нашем случае радиусы) орбит Луны и Земли примем соответственно такими: Следовательно, отношение больших полуосей орбит Луны и Земли имеет такую величину:

Перейдем к независимой переменной и разложим левую часть уравнения (4.1) в ряд по степеням компонент вектор-функции Тогда, сохраняя для дальнейшего только свободные члены и члены, линейные относительно и учитывая сделанные выше предположения, получим из (4.1) линейное уравнение

В коэффициентах левой части уравнения (4.2) отброшены величины порядка и выше, а в правой части сохранены только главные члены, определяющие вынужденные колебания, и отброшены величины порядка и выше. Вектор в (4.2) таков, что . Через в (4.2) обозначен угол где средние долготы Луны и Солнца в орбите [23]:

Нетрудно проверить, что

где наклонение плоскости орбиты Луны к эклиптике а через обозначен угол , где — долгота восходящего узла орбиты Луны, причем [23]

В координатной форме уравнение (4.2) запишется в виде

Для отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, имеем

Вынужденные колебания в линейной системе (4.6) находятся очень просто. Получаем такие значения для

4.3. Вынужденные колебания КА, обусловленные силами светового давления. Аналогично можно вычислить вынужденные колебания КА вблизи «подвижной точки либрации», вызванные силами светового давления Солнца.

Потенциал К (см. п. 3.1 предыдущего параграфа) возмущающих сил светового давления имеет вид

где характерная площадь поперечного сечения и масса КА соответственно, величина у характеризует отражающие свойства поверхности величина светового давления на орбите Земли, . Для дальнейших расчетов примем отношение равным а величину у считаем равной 2 (т. е. поверхность КА считается зеркально-отражающей).

Проведя последовательно преобразования пп. 3.2-3.5, 3.7 и

4.2, получим уравнение (4.1), в котором

Величина а в уравнении (4.1) полагается равной нулю, так как величина для Луны пренебрежимо мала. Это означает, что влиянием светового давления на орбиту Луны мы пренебрегаем. Проведя выкладки, аналогичные выкладкам предыдущего пункта, получим, что обусловленные световым давлением вынужденные колебания КА вблизи одвижной точки либрации» приближенно описываются линейным дифференциальным уравнением (4.2), если правую часть последнего заменить на вектор-функцию При этом отброшенные в правой части члены будут примерно в раз меньше оставленных.

Вычисления показывают, что при сделанных предположениях вынужденные колебания записываются в виде (амплитуды пересчитаны в

Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее существенные факторы и отбросить второстепенные. Для целей предварительного анализа траекторий движения КА в § 2 была использована простейшая модель линеаризованной в окрестности круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь учесть нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки и эллиптичность орбиты Луны. В следующем параграфе будет рассмотрена нелинейная задача о движении КА в окрестности в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — без учета возмущающего влияния Солнца и других внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Ее решение можно положить в основу алгоритма расчета пассивного движения КА в окрестности