§ 5. Выводы

Кратко сформулируем и обсудим результаты исследования устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел.

Как в плоской, так и в пространственной задаче условия устойчивости в линейном приближении записываются в виде неравенств

Строгий нелинейный анализ показал, что в случае плоской задачи точки либрации устойчивы по Ляпунову для всех значений параметра из области (5.1), кроме двух значений

при которых имеет место неустойчивость. Так что задача об устойчивости треугольных точек либрации для значений параметра из области (5.1) в случае плоской задачи решена полностью.

В пространственной задаче неустойчивость при конечно, остается, а при значениях не равных и принадлежащих области (5.1), доказана устойчивость для большинства начальных условий. Кроме того, для почти всех из интервала (5.1) (исключения, быть может, составляют значения соответствующие двукратному резонансу между частотами показана формальная устойчивость. Таким образом, если в пространственной задаче точки либрации и могут быть неустойчивыми, то эта неустойчивость в большинстве случаев крайне слабая.

Для значений параметра больших критического значения точки либрации неустойчивы, что обнаруживается уже в

линейной задаче, так как соответствующее характеристическое уравнение имеет корни с положительными вещественными частями. При все корни характеристического уравнения чисто мнимые, но среди них есть кратные, а линейная система неустойчива. Анализ показал, что эта неустойчивость исчезает, если в уравнениях возмущенного движения учитывать нелинейные члены. Показано, что при треугольные точки либрации формально устойчивы как в плоской, так и в пространственной задаче. По-видимому, в плоской задаче при можно доказать устойчивость по Ляпунову.