§ 7. Устойчивость при резонансах произвольного порядка

Пусть функция Гамильтона (3.2) такова, что величина не будет целым числом при а коэффициенты в (3.3) равны нулю. Тогда вопрос об устойчивости не решается членами до порядка в разложении гамильтониана.

Допустим теперь, что число будет целым. Тогда функция Гамильтона (3.2) может быть приведена к виду

При помощи функции Ляпунова

легко показать, что при положение равновесия неустойчиво.

Пусть, далее, либо либо число не будет целым при а число целое. Тогда гамильтониан приводится к виду

где и с — постоянные коэффициенты. При выполнении неравенства положение равновесия неустойчиво. Это доказывается при помощи функции Ляпунова

Если же то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Для доказательства этого утверждения сделаем каноническое преобразование при помощи производящей функции

Знаки и с можно считать одинаковыми, поэтому В (7.5) введено обозначение

В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде

где функция и периодична по Дальнейшее доказательство сводится к применению теоремы Мозера об инвариантных кривых, как это сделано в предыдущем параграфе.