§ 3. О методе исследования. Предварительное преобразование функции Гамильтона

Основные этапы построения периодических движений и анализа ихустойчивости состоят в следующем [144]. Сначала найдем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующего «невозмущенному» гамильтону Полный интеграл и соотношения дают решение Для исследования «возмущенного» движения (т. е. движения, описываемого полной функцией Гамильтона делаем замену переменных при помощи формул Новый гамильтониан имеет вид

где функции выражены через

Затем к системе с функцией Гамильтона Я применяем теорию возмущений Депри-Хори, описанную в главе 11. В результате получим функцию Гамильтона, содержащую только долгопериодические члены. Сделав затем несложное каноническое преобразование, можно из гамильтониана исключить независимую переменную

В новых переменных искомые периодические движения соответствуют положениям равновесия. Так как независимая переменная теперь явно не входит в функцию Гамильтона, то нахождение положений равновесия и исследование их устойчивости не представляют больших трудностей.

И, наконец, для представления периодических движений в исходной системе координат надо сделать несколько канонических преобразований, обратных описанным выше.

Для осуществления намеченной схемы исследования удобно предварительно сделать каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к нормальной форме. Характеристическое уравнение, соответствующее этому гамильтониану, имеет вид

Это уравнение имеет две пары чисто мнимых корней

Следовательно, «невозмущенное» движение устойчиво. Теперь при помощи линейного канонического преобразования введем переменные так, чтобы в этих переменных невозмущенный гамильтониан принял нормальную форму, а сами переменные имели нулевой порядок относительно что позволяет ввести в новый гамильтониан малый параметр в явном виде. Искомая замена переменных такова:

где матрица А имеет вид [144]

В (3.3) введены следующие обозначения:

Новый гамильтониан Его квадратичная часть выглядит следующим образом:

Для решения уравнений, соответствующих невозмущенному гамильтониану удобно ввести канонические переменные действие а и угол по формулам

В переменных гамильтониан примет вид

Следовательно,

Решение этих уравнений записывается так:

где константы интегрирования. Это как раз те постоянные, которые содержатся в решении невозмущенных уравнений, получаемом из уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующего

Теперь, согласно плану исследования, намеченному в начале этого параграфа, примем за новые канонические переменные. Гамильтониан описывающий изменение переменных в возмущенной задаче, будет таким:

где

функции из разложения (2.1), в которых переменные заменены через при помощи формул (3.2), (3.3), (3.5) и (3.8), Явные выражения для выписаны в работе Кэмила [144].

Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (3.9), имеют вид