§ 3. Формальная устойчивость

Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело бесконечно малой массы будет образовывать с телами конечных масс треугольник, близкий к равностороннему, для большинства достаточно малых отклонений от вершины равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенному движению, и для достаточно малых относительных скоростей. И, согласно [4], для этих начальных условий, соответствующих несоизмеримым частотам, движение тела будет условнопериодическим. Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, треугольные точки либрации в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но каково движение тела для начальных условий, соответствующих соизмеримым (или почти соизмеримым) частотам?

Исследуемая механическая система обладает тремя степенями свободы. А в многомерных гамильтоновых системах, как уже подробно говорилось в пятой главе, может быть неустойчивость по Ляпунову, несмотря на то, что выполнены условия устойчивости для большинства начальных условий.

В этом параграфе мы рассмотрим задачу об устойчивости точек либрации с точки зрения формальной устойчивости и в результате докажем такое утверждение.

Теорема. Область устойчивости в первом приближении разбивается на пять интервалов:

причем в интервалах (3.1) треугольные точки либрации пространственной круговой ограниченной задачи трех тел формально устойчивы, а в интервалах (3.2) формальная устойчивость имеет место для почти всех значений исключения, быть может, составляют значения при которых частоты линейной задачи удовлетворяют соотношениям двукратного резонанса

Справедливость теоремы мы покажем в несколько этапов. Сначала, следуя [58], покажем формальную устойчивость для значений лежащих в интервалах (3.1). Для этого заметим, что при помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона (1.3) можно нормализовать совокупность членов пятого, шестого и т. д. порядков. И если принадлежит область устойчивости в линейном приближении и нормализованная во всех порядках функция Гамильтона запишется в виде

где определены равенствами (1.1) и (1.4), а формальный ряд начинается с членов не ниже пятого порядка относительно Угловые переменные будут содержаться в только в виде комбинаций

где целые числа, для которых выполнено равенство

Система с гамильтонианом (3.4) имеет очевидный формальный интеграл так как Я не зависит от времени. Кроме того, учитывая (3.5) и (3.6), нетрудно проверить, что выражение тоже будет интегралом (формальным).

Составим формальный интеграл в виде

В разложении функция имеет вид

Оба слагаемых в правой части равенства (3.8) неотрицательны.

Рис. 8. Зависимость коэффициентов от

Поэтому функция будет знакоопределенной в окрестности начала координат, если при система уравнений

имеет только нулевое решение Исследуем систему уравнений (3.9). Из первого уравнения найдем выражение через и подставим его во второе уравнение. Тогда система уравнений (3.9) перепишется так:

В системе уравнений (3.10) введены следующие обозначения:

Графики коэффициентов представлены на рис. 8. Коэффициент обращается в нуль.

При этом значении коэффициенты системы уравнений (3.10) таковы:

и система (3.10) имеет две серии решений:

Эти решения не удовлетворяют неравенствам Поэтому при система уравнений (3.10) при имеет только нулевое решение.

При (и, конечно, решения системы уравнений (3.10) могут быть описаны следующим образом:

Система уравнений (3.10) тогда и только тогда имеет ненулевое решение при когда величины одновременно неотрицательны.

Расчеты показывают, что величина положительна всегда, всегда противоположны по знаку, а величины одновременно положительны только при выполнении неравенств

Таким образом, формальный интеграл (3.7) будет знакоопределенным при всех из области устойчивости в первом приближении, кроме значений и (исключенных из рассмотрения с самого начала, так как вопрос об устойчивости при уже решен), а также значений принадлежащих интервалам (3.2). Таким образом, формальная устойчивость точек либраций для значений лежащих в интервалах (3.1), доказана.

Рассмотрим теперь интервалы (3.2). Для доказательства утверждения теоремы о формальной устойчивости в интервалах (3.2) надо исследовать коэффициенты при членах шестого порядка относительно в нормальной форме функции Гамильтона возмущенного движения.

Нормализованная до членов шестого порядка включительно функция Гамильтона нашей задачи имеет такой вид:

где определены равенствами (1.1) и (1.4), а функция

имеет такой вид:

Нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вид (3.13), если частоты не связаны резонансными соотношениями до шестого порядка включительно.

Рис. 9. (см. скан) Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестого порядка в разложении функции Гамильтона.

В интересующих сейчас нас интервалах (3.2) изменения параметра эти условия отсутствия резонанса, как показали расчеты, выполнены.

Коэффициенты формы третьего порядка в нормальной форме были получены при любых (нерезонансных) значениях Эта работа проводилась на ЭВМ. Графики коэффициентов функции представлены на рис. 9 и 10.

Рис. 10. (см. скан) Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестого порядка, соответствующие пространственным переменным.

Прежде чем строить и исследовать формальный интеграл, нужный для доказательства утверждения теоремы о формальной устойчивости точек либрации в интервалах (3.2), покажем,

следуя что система уравнений

при для значений из интервалов (3.2) имеет только тривиальное решение

Как только что было показано выше, первые два уравнения системы (3.15) для значаний из интервалов (3.2) допускают нетривиальное решение где новременно положительны. Подставив это решение в функцию получим, что третье из уравнений системы (3.15) переходит в уравнение

где Если функция в интервалах (3.2) не обращается в нуль, то система (3.15) несовместна. График функции Для значений из интервалов (3.2) представлен на рис. 11. Функция в нуль не обращается. Таким образом, система уравнений (3.15) для значений лежащих в интервалах (3.2), имеет только тривиальное решение

Рис. 11. Зависимости функции от

Теперь возьмем какое-либо значение из интервалов (3.2) и заметим, что возможны только три случая: 1) когда нет резонанса между частотами когда есть однократный резонанс и 3) когда частоты связаны двумя резонансными соотношениями (3.3) (двукратный резонанс).

В первом случае имеет место формальная устойчивость согласно результатам Мозера [157] (см. также § 2 пятой главы книги).

Рассмотрим второй случай. Если среди целых чисел есть числа разных знаков, то опять, согласно работе Мозера [157], имеет место формальная устойчивость. Пусть все числа имеют одинаковый знак, например, пусть все они положительны. Нетрудно проверить (см. также [13]), что система с нормализованным во всех порядках гамильтонианом (3.13) имеет три формальных интеграла:

где Из интегралов (3.17) составим формальный интеграл вида

Слагаемые правой части интеграла (3.18) неотрицательны. Покажем, что в нашем случае они могут обратиться в нуль только в начале координат. Это и будет означать знакоопределенность формального интеграла

Легко видеть, что первые два слагаемых в (3.18) обращаются одновременно в нуль только на луче На этом луче третье слагаемое имеет вид

и при достаточно малых не равно нулю в силу несовместности системы (3.15) в квадранте (заметим, что на луче функция тождественно равна нулю). Итак, во втором случае также имеет место формальная устойчивость точек либрации.

В третьем случае, случае двукратного резонанса (3.3), мы располагаем только двумя формальными интегралами:

где Формальный интеграл, аналогичный интегралу (3.18), имеет вид

Первое слагаемое в (3.20) обращается в нуль уже не на луче, а на плоскости Второе слагаемое теперь уже может обратиться в нуль, несмотря на несовместность системы уравнений (3.15) при . А поэтому мы и не можем показать (нашим способом) формальную устойчивость в случае двукратного резонанса.

Проведенные рассуждения доказывают теорему.

Замечание. Наличие формальной устойчивости позволяет утверждать, что неустойчивость по Ляпунову не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного) порядка. А если и существуют траектории, по которым тело далеко уходит от вершины равностороннего треугольника, то движение по ним происходит крайне медленно.

Для пот учения оценок времени «удержания» тела вблизи вершины равностороннего треугольника можно было бы использовать изложенные в пятой главе результаты Н. Н. Нехорошева по исследованию скорости диффузии Арнольда. Заметим для этого, что несовместность системы (3.9) в интервалах (3.1) и системы

(3.15) в интервалах (3.2) означает, что в этих интервалах выполнены условия крутизны функций соответственно, Но мы встречаемся со следующим затруднением.

Н. Н. Нехорошев показал справедливость экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда для аналитических гамильтонианов, а в нашем случае движения вблизи положения равновесия, совпадающего с началом координат, функция Гамильтона не является аналитической относительно (есть аналитичность только относительно В автореферате работы [78] утверждается, что и в этом последнем случае можно показать возможность применения экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда, если исключить резонансы до некоторого, достаточно высокого, конечного порядка. И тогда будет иметь место следующая оценка:

при всех значениях (напомним, что истинная аномалия кеплеровского движения основных притягивающих масс для которых

Величина характеризует малость величины отклонения координат и скоростей тела от их значений, соответствующих точке либрации. Положительные константы а и допускают оценку