§ 4. Линейная нормализация
Будем исследовать устойчивость положения равновесия системы (3.1) внутри области устойчивости системы ее первого (линейного) приближения. Это означает, что число 
нецелое. Для дальнейшего потребуется вещественное, каноническое, 
-периодическое по 
линейное по х, у преобразование 
гамильтониана (3.2) к такой форме, когда его квадратичная часть имеет вид
Задача нормализации линейной гамильтоновой системы с 
степенями свободы рассмотрены в главе 2. Нормализация системы с одной степенью свободы особенно проста и будет здесь проведена способом, отличным от изложенного во второй главе.
Линеаризованная система (3.1) имеет два линейно независимых решения
где 
а периодические функции 
удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
Очевидно, что если начальные значения 
будут комплексно сопряженными соответственно с начальными значениями 
то в силу однородности системы (4.2) эти функции будут комплексно сопряженными и при всех 
Тогда можно положить
где 
вещественные периодические функции 
Согласно (4.2), они удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
Далее, нетрудно проверить, что линеаризованная система (3.1) имеет два независимых интеграла
Введем новые переменные 
формулами
Это преобразование будет каноническим (но не обязательно унивалентным), так как функции 
удовлетворяют соотношению
в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
Выберем начальные значения функций 
так, чтобы начальные значения функций 
были комплексно сопряженными, а постоянная в правой части (4.7) равнялась единице (для унивалентности канонического преобразования 
Обозначим через 
решения линеаризованной системы (3.1), удовлетворяющие условиям
Тогда начальные значения функций 
найдутся из следующих систем уравнений:
Определители этих систем равны нулю, так как 
мультипликаторы линеаризованной системы (3.1). Решения систем (4.8) можно записать в виде
где С — произвольные постоянные. Возьмем их вещественными и равными с. Тогда 
Из (4.3) и (4.9) получаем начальные значения функций
Полагая постоянную в (4.7) равной единице, получаем уравнение для определения с
Легко проверить, рассмотрев характеристическое уравнение, что величина 
так как устойчивость исследуется внутри области устойчивости линеаризованной системы (3.1). Выбором знака К (который до сих пор был не определенным) эту величину можно получить положительной. Поэтому уравнение (4.11) всегда имеет вещественное решение относительно с.
Таким образом, искомое каноническое преобразование найдено, и в переменных 
функция Гамильтона такова:
где
