§ 6. Неустойчивость точек либрации при малых «мю» и е

Из (5.1) видно, что величина обращается в нуль при Поэтому при малых возможно появление областей неустойчивости. Но тут уже качественных оценок, использующих малость эксцентриситета, недостаточно для исследования. Для того, чтобы неустойчивость могла быть обнаружена, следует получать числовые значения коэффициентов функции или хотя бы исследовать их поведение при малых Результаты такого исследования приводятся ниже. Оказывается, что при достаточно малых действительно существует область неустойчивости. Ниже будет получено приближенное уравнение границы этой области в плоскости

Если учитывать степени эксцентриситета не выше второй, то коэффициенты равны нулю и функция может быть записана в виде

где — некоторые функции имеет вид (5.1). Функция (6.1) при выполнении неравенства

может обратиться в нуль, если, например,

При этом Таким образом, если достаточно малая величина, то неравенство (6.2) есть условие неустойчивости лагранжевых решений.

Было исследовано поведение функций, стоящих в обеих частях неравенства (6.2) при до, стремящемся к нулю. При этом, если для

это можно сделать, используя формулу (5.1), то для функций а и исследование очень громоздко и оно проводилось на вычислительной машине. Оказалось, что имеют место равенства

где бесконечно малые величины при стремящемся к нулю, причем порядок малости выше первого.

Из неравенства (6.2) получаем теперь такое условие неустойчивости при достаточно малых

Полученная в плоскости область неустойчивости лагранжевых решений является очень узкой. При малых одной из ее границ является ось а другой — кривая, мало отличающаяся от параболы

Отметим в заключение, что обнаруженная неустойчивость лагранжевых решений является следствием резонанса, связанного с тем, что частота вращения тел равна частоте колебаний тела по направлению, перпендикулярному плоскости их вращения. Этот резонансный эффект проявляется только в эллиптической пространственной задаче. В случае круговой пространственной задачи этот резонанс к неустойчивости не приводит.