§ 5. Об устойчивости при резонансах четвертого порядка
В этом параграфе исследуется устойчивость лагранжевых решений при резонансах четвертого порядка. Резонансы 
при малых значениях 
не могут привести к неустойчивости при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов не выше четвертого порядка относительно координат и импульсов [157].
Рассмотрим резонанс 
обнаруживающийся уже в круговой задаче. На резонансной кривой 
нормализованная функция Гамильтона получается такой:
где коэффициенты с точностью до величин порядка 
имеют следующие числовые значения:
Делая замену переменных
где 
получаем функцию Гамильтона в виде
Для этой функции
Поэтому при достаточно малых 
условие неустойчивости (см. § 5 главы 5) выполняется и справедливо следующее утверждение: при значениях 
принадлежащих резонансной кривой 
для достаточно малых 
лагранжево решение неустойчиво.
Теперь проверим выполнимость условий неустойчивости для остальных резонансных кривых четвертого порядка. Значения величины 
с точностью до величин порядка 
представлены в табл. 4.
Таблица 4
Замечая, что при 
коэффициент при тригонометрическом члене нормальной формы для этих резонансов обращается в нуль, получаем, что при достаточно малых значениях 
имеет место устойчивость в рассматриваемом нелинейном приближении (при учете членов четвертого порядка в разложении функции Гамильтона).
