§ 7. Численное исследование при произвольных е и «мю»

Если значения эксцентриситета не малы, то исследование устойчивости необходимо проводить при помощи вычислений с использованием ЭВМ. При этом для фиксированных надо сначала при помощи ЭВМ найти линейное нормализующее преобразование, а затем произвести нормализацию нелинейной гамильтоновой системы. Соответствующие алгоритмы нормализации изложены во второй и четвертой главах. Там же получены нужные нам здесь критерии устойчивости и неустойчивости.

Характеристическое уравнение линейной системы является возвратным. Запишем его в виде

Коэффициент равен следу фундаментальной матрицы линейной системы, вычисленной при сумма всех ее главных миноров второго порядка.

В плоскости коэффициентов область устойчивости линейной системы задается системой неравенств [48]

и представляет собой внутренность криволинейного треугольника, изображенного на рис. 15.

Для значений лежащих в области устойчивости, характеристическое уравнение (7.1) имеет простые корни с модулями, равными единице.

Рис. 15. Области устойчивости и резонансные кривые в плоскости коэффициентов характеристического уравнения:

Вне треугольника, где уравнение (7.1) имеет

хотя бы один корень с модулем, большим единицы, исследуемое движение неустойчиво. границе криволинейного треугольника уравнение (7.1), не имея корней с модулями, большими единицы, имеет кратные корни с модулями, равными единице.

Пусть коэффициенты лежат внутри криволинейного треугольника. Запишем корни уравнения (7.1) (мультипликаторы линейной системы) в виде

Величины — вещественные числа — характеристические

показатели линейной системы). Коэффициенты характеристического уравнения (7.1) связаны с величинами посредством следующих соотношений:

Граница криволинейного треугольника соответствует параметрическому резонансу целые числа; или 2). Эти резонансы обнаруживаются уже при анализе линейной задачи. Получим еще внутри криволинейного треугольника кривые, соответствующие резонансам третьего и четвертого порядков, обнаруживающимся при нелинейном анализе.

Из соотношений (7.4) получаем, что резонансные соотношения осуществляются соответственно на прямых Резонансные соотношения осуществляются при значениях удовлетворяющих соответственно равенствам Все эти кривые изображены на рис. 15 внутри криволинейного треугольника.

Получим явные выражения величин через коэффициенты характеристического уравнения Из равенств (7.4) следует, что удовлетворяют следующему уравнению:

Из этого уравнения и соотношений (7.4) величины и определяются неоднозначно. Для их однозначного определения воспользуемся непрерывностью и по параметру Рассмотрим предельный случай круговой задачи. При корни уравнения (7.5) будут такими:

Нетрудно проверить, что Поэтому

Далее, учитывая, что получаем

Таким образом, неоднозначность в определении величин и устранена и при любых внутри областей устойчивости линейной задали, изображенных на рис. 12 они вычисляются по следующим формулам:

Приведем сначала результаты численного исследования устойчивости для значений параметров при которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков.

Прежде всего отметим, что резонансные кривые к для которых целые числа имеют разные знаки, в подробном исследовании не нуждаются, так как для подобных резонансов имеет место формальная устойчивость [157], если отсутствуют другие резонансные соотношения любого порядка. В противном случае можно сделать утверждение об устойчивости при учете в разложении функции Гамильтона членов лишь до четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения.

В области устойчивости линеаризованной задачи в плоскости параметров существуют пять резонансных кривых третьего порядка и на четырех из них величины имеют одинаковые знаки. Резонансные кривые изображены на рис. 14. В результате численного анализа выяснено, что для всех четырех резонансных кривых имеет место неустойчивость по Ляпунову.

При резонансах четвертого порядка картина устойчивости более сложная. В области устойчивости линейной задачи существуют восемь кривых, на которых выполнены резонансные соотношения четвертого порядка. Эти кривые изображены на рис. 14. На шести из них в резонансных соотношениях величины имеют одинаковые знаки. Проведенные расчеты показали, что на кривых резонансов четвертого порядка существуют как участки устойчивости в четвертом приближении (при учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка), так и участки неустойчивости по Ляпунову. Результаты численных расчетов представлены в табл. 7.

На рис. 16 и 17 изображены все резонансные кривые третьего и четвертого порядков. На всех кривых, кроме и

Таблица 7

при имеет место устойчивость по Ляпунову (см. главу 7).

Рис. 16, Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.

На резонансных кривых изображенных на рисунках штрих-пунктирными линиями, имеет место формальная устойчивость (при отсутствии других резонансных соотношений любого порядка). На резонансных кривых третьего порядка при имеет место неустойчивость по Ляпунову. На рис. 16 и 17 эти кривые нзображены пунктирными линиями. На резонансных кривых четвертого порядка участки неустойчивости изображены пунктирными линиями, а участки устойчивости в четвертом приближении — сплошными линиями.

Было проведено также численное исследование устойчивости при значениях параметров, не лежащих на кривых, где выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков.

Рис. 17. Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.

Рис. 18. Области формальной устойчивости.

При этом из-за вычислительных трудностей, проявляющихся при больших значениях или при малых значениях а также вблизи границ областей устойчивости в линейном прибладмрии, мы ограничились значениями параметров 0,6 и

Были проверены условия устойчивости для большинства начальных условий, а также условие формальной устойчивости (знакоопределенность формы в квадранте . Результаты расчетов представлены на рис. 18 и 19. Устойчивость для большинства начальных условий имеет место почти всюду в области устойчивости линеаризованной задачи.

Рис. 19. Области формальной устойчивости.

Исключения составляют резонансные кривые, которые мы уже рассмотрели, и, быть может кривые изображенные на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Сплошными линиями на этих рисунках изображены кривые, на которых или выполнены резонансные соотношения третьего порядка (эти кривые надписаны), или те кривые, при переходе через которые все величины становятся одного знака (именно, положительными). Области формальной устойчивости на рис. 18 и 19 заштрихованы. При этом в областях, отмеченных горизонтальной штриховкой, выполнено условие а в областях, отмеченных наклонной штриховкой но все величины положительны.

Результаты, полученные при помощи численных расчетов, совпадают с результатами, полученными выше аналитическими методами при