ГЛАВА 6. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НОРМАЛИЗАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

§ 1. Необходимые понятия и определения

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений.

В настоящей главе описан разработанный в [61] алгоритм нормализации -периодических по гамильтоновых систем, основанный на применении метода точечных отображений [75]. Кроме того, здесь же рассмотрена задача об устойчивости неподвижных точек отображений в случае резонанса.

Приведем кратко необходимые понятия и определения метода точечных отображений. Пусть движение динамической системы описывается системой дифференциальных уравнений вида

где правые части либо -периодичны по либо от не зависят совсем. Будем изображать движение в -мерном пространстве переменных Обозначим через (рис. 5) плоскость а через плоскость Траектория системы (1.1), начинающаяся в произвольной точке плоскости

через время пересечет плоскость в некоторой точке Если теперь отождествить плоскости спроектировать плоскость на плоскость то получим точечное отображение плоскости в себя. Это отображение будем записывать в виде равенства

или при помощи формул

Рис. 5. К понятию точечного отображения.

К точке в свою очередь может быть применено отображение которое переведет ее в точку Таким образом,

Преобразование, состоящее в -кратном последовательном применении преобразования обозначают

Точка называется неподвижной точкой преобразования если преобразование переводит ее в себя, т. е.

Уравнение для определения неподвижных точек преобразования в координатной форме получается из (1.2):

Назовем -окрестностью точки совокупность точек для которых Здесь через обозначено расстояние между точками и М:

Введем, согласно [76, 77], понятие устойчивой и неустойчивой неподвижных точек. Неподвижная точка называется устойчивой в малом, если для любой точки принадлежащей достаточно малой -окрестности имеет место неравенство

где при в Неподвижная точка называется неустойчивой, если для некоторого в любой сколь угодно малой окрестности точки есть точки которые при последовательном применении к ним преобразования выходят за пределы -окрестности неподвижной точки

Между точечными отображениями и движениями системы существует очень тесная связь. Например, справедлив следующий общий принцип: для того чтобы решение неавтономной системы, было -периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка была неподвижной точкой отображения Т:

Имеет место соответствие не только между периодическими движениями и неподвижными точками преобразования но и соответствие между их устойчивостями. Именно, чтобы периодическое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая неподвижная точка преобразования