§ 2. Три типа периодических движений

Существование периодических движений, близких треугольным точкам либрации ограниченной круговой задачи трех тел доказывается при помощи теоремы А. М. Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49].

Теорема (А. М. Ляпунов). Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где положительная постоянная, постоянные вещественные коэффициенты, а голоморфные функции величин разложения которых не содержат членов ниже второго порядка малости и обладают постоянными вещественными коэффициентами. Пусть выполнены следующие два условия:

а) Уравнение

где символ Кронекера, не имеет корней вида где мнимая единица, целое число.

б) Система (2.1) имеет не зависящий от времени голоморфный интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит переменные х и у.

Тогда уравнения (2.1) имеют периодическое решение, представимое рядами вида

где достаточно малая произвольная постоянная, а все периодические функции времени с общим периодом являющимся голоморфной функцией Функции представляются конечными рядами косинусов и синусов целых кратностей величины 0, определяемой формулами

причем все вполне определенные постоянные, вторая произвольная постоянная.

Величина называются орбитальным параметром или «амплитудой» периодического движения (2.3).

В дальнейшем рассматривается движение вблизи однако все выводы верны и для Гамильтониан движения в окрестности треугольной точки либрации определяется формулой (3.1) главы 7, в которой надо положить Мы будем исследовать периодические движения для значений параметра лежащих в области устойчивости точек либрации в линейном приближении. Уравнения движения тела бесконечно малой массы вблизи при всегда можно записать в виде (2.1). Введем далее обозначения

где корни уравнения (4.3) из седьмой главы

Для решения вопроса о существовании периодический движений, близких к применяем теорему Ляпунова о голоморфном интеграле, за который в рассматриваемой задаче можно принять функцию Гамильтона Н.

Рассмотрим сначала плоскую задачу. В этом случае характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет две пары чисто мнимых корней Чтобы сделать заключения о существовании периодических движений, надо проверить только выполнимость условия а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле, т. е. требования отсутствия резонансных соотношений вида

где произвольное целое число, а принимают значения или

Будем называть периодические движения, соответствующие частоте периодическими движениями I типа. Их период Обычно их называют короткопериодическими движениями. Периодические движения, соответствующие будем называть периодическими движениями II типа. Их период (долгопериодические движения).

Для периодических движений I типа соотношение (2.6) принимает вид Это равенство не выполнено ни при каких целых так как Таким образом, из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле получаем, что периодические движения I типа существуют при всех [X из рассматриваемого интервала

Для периодических движений II типа соотношение (2.6) можно переписать так: С учетом уравнения (4.6) главы 7 это соотношение принимает вид [22, 83]

Тогда получаем, что периодические движения II типа существуют при всех из интервала кроме, быть может, значений удовлетворяющих равенству (2.7).

Теперь рассмотрим пространственную задачу. При всех из интервала по-прежнему будут существовать периодические движения I типа, а при не удовлетворяющем равенству (2.7), и периодические движения II типа. Из-за того, что пространственные переменные входят в гамильтониан четным образом, периодические движения I и II типов и в пространственной постановке задачи остаются в плоскости вращения основных притягивающих масс. Но в пространственной задаче существуют еще периодические движения III типа, период которых

При решении вопроса об устойчивости периодических движений I—III типов следует рассматривать пять различных задач:

1а) задача об устойчивости периодических движений I типа в плоском случае;

16) задача об устойчивости периодических движений I типа в пространственном случае;

2а) задача об устойчивости периодических движений II типа в плоском случае;

26) задача об устойчивости периодических движений II типа в пространственном случае;

3) задача об устойчивости периодических движений III типа, существующих только в пространственном случае.

Задачи 1а) и 1б) существенно различны. В надаче 1а) изучаемая механическая система имеет две, а в задаче 1б) — три степени свободы. Аналогичная ситуация и с задачами 2а) и 2б).

Каждое из рассматриваемых периодических движений зависит от двух параметров: отношения масс основных тел и «амплитуды» (в задаче об устойчивости зависимость периодического движения от начального момента времени несущественна).