§ 5. Построение периодических движений

Для построения периодических движений нелинейной задачи воспользуемся методом канонических преобразований, но в виде, несколько отличном от преобразований работ [116, 117]. Представим формы из (4.2) в таком виде:

где означает совокупность членов степени по переменным (координата и импульс с номером номер типа периодического движения) и степени по остальным переменным. Сделаем теперь такое каноническое преобразование:

чтобы во всех формах новой функции Гамильтона нормализовать члены и уничтожить члены Такое преобразование будет сходящимся [28, 72].

Преобразование (5.2), как и вообще все дальнейшие нелинейные нормализующие канонические преобразования этой главы, проводилось методом Депри — Хори. Этот метод использовался в модификации Мерсмана [156].

Рассмотрим подробнее преобразование (5.2). Производящую функцию этого преобразования, зависящую только от новых переменных, представим в виде

Тогда операторное уравнение для определения коэффициентов производящей функции и новой функции Гамильтона имеет вид

где оператор определяется следующим образом:

В (5.4) функции выражаются через функции

Операторное уравнение для определения коэффициентов производящей функции и новой функции Гамильтона будет иметь вид (5.4) независимо от алгоритма нормализации, будь то классический алгоритм Биркгофа, алгоритм Депри — Хори или какой-нибудь другой алгоритм нелинейных канонических преобразований. С формальной точки зрения отличие между этими алгоритмами нормализации заключается только в способе вычисления функций через функции (5.6). При использовании алгоритма Депри — Хори в модификации Мерсмана нужные нам в дальнейшем формы выражаются через функции (5.6) с помощью соотношений

Здесь

Если уравнения (5.4) для всех уже решены и найдены соответствующие члены разложения производящей функции в ряд (5.3), то полученное таким образом преобразование (5.2) будет иметь вид

где оператор, определяемый формулой

а операторы определяются так:

Здесь произвольная функция переменных

Уравнение (5.4) для определения коэффициентов производящей функции преобразования (5.2) и коэффициентов новой функции Гамильтона Н в каждом порядке относительно координат и импульсов распадается на группы, соответствующие членам Н в представлении (5.1); это означает, что нормализацию этих членов можно проводить независимо друг от друга. При нормализации членов Ни в выражениях для коэффициентов производящей функции преобразования (5.2) появляются знаменатели вида

где

Пусть резонансы вида (2.6) отсутствуют, т. е. пусть выполнено требование а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. В этом случае во всех формах новой функции Гамильтона члены вида можно уничтожить полностью, потому что соответствующие этим членам знаменатели в нуль не обращаются. Кроме того, так как числа не обращаются в нуль при рассматриваемых значениях параметра то в случае нечетного члены также можно уничтожить полностью. В случае четного эти члены можно нормализовать и представить в виде

где — величины, зависящие лишь от параметра задачи и являющиеся инвариантами функции Гамильтона невозмущенного периодического движения относительно канонических преобразований. Эти величины с точностью до множителя равны постоянным фигурирующим в выражении (2.4) для периода рассматриваемого периодического движения.

После проведения преобразования (5.2) первые члены разложения новой функции Гамильтона

имеют вид

где по-прежнему в формах первый индекс означает их степень по переменным с номером I, второй индекс — степень этих форм по остальным переменным, а

Так как совокупность переменных входит в функцию Гамильтона (5.11) в степени не ниже второй, дифференциальные уравнения движения допускают частные решения, соответствующие периодическим движениям, для которых а изменение переменных описывается

следующими дифференциальными уравнениями:

В переменных «действие» I — «угол» связанных с формулами

уравнения (5.12) принимают вид

Решение уравнений (5.14) записывается так:

где частота и период периодического движения (5.15) вычисляются по формулам (за единицу времени принята величина периода обращения тел конечных масс по их круговым орбитам)

Из (5.16), в частности, видно, что при период движения стремится к величинам или соответственно для периодических движений I, II или III типа.