§ 4. Орбиты первого приближения

Если в функции Гамильтона (3.1) главы 7, описывающей движение вблизи сделать (при замену переменных по формулам (4.2) главы 7, а затем по формулам

то она примет такой вид:

где

Решение системы линейных дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона имеет вид

где произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Если начальные условия таковы, что все при к I равны нулю, то уравнения (4.4) будут описывать первое приближение периодического движения I, II или III типа (I — номер типа

периодического движения, равный соответственно 1, 2, 3). Периодические движения III типа в первом приближении представляют собой линейные колебания (с частотой, равной единице) в направлении, перпендикулярном плоскости вращения основных тел. Рассмотрим подробнее периодические движения I и II типов. В координатах (см. главу 7) эти движения можно записать в виде

В системе координат уравнения (4.5) представляют собой записанные в параметрическом виде уравнения эллипсов с центром в

Рис. 22. Зависимость эксцентриситетов орбит первого приближения от отношения масс основных тел

Рис. 23. Ляпуновские орбиты первого приближения вблизи точки в системе Земля — Луна.

Большие полуоси эллипсов наклонены к оси под углом у, определяемым соотношением

и при равным приблизительно 30°. Эксцентриситеты эллипсов вычисляются по формулам

и одинаковы для всех начальных условий. Графические зависимости эксцентриситетов эллипсов от параметра приведены на рис. 22. Из рис. 22, в частности, видно, что при всех

эксцентриситет короткопериодических орбит меньше эксцентриситета долгопериодических орбит. На рис. 23 схематически представлены эллиптические короткопериодические и долгопериодические орбиты первого приближения для соотношения масс системы Земля — Луна