§ 2. Устойчивость для большинства начальных условий

В этом параграфе мы докажем следующее утверждение. Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий при всех из области устойчивости в первом приближении (значения и исключаются).

Доказательство. При точки либрации неустойчивы, как уже об этом говорилось выше. Пусть Тогда гамильтониан возмущенного движения может быть представлен в виде (1.3). Согласно исследованиям Арнольда, изложенным в главе 5, для доказательства устойчивости для большинства начальных условий достаточно проверить отличие от нуля определителя четвертого порядка

Раскрывая определитель (2.1) и используя выражения (1.1) и (1.4), получаем

Преобразуем выражение (2.2) к более простому виду, используя явные зависимости коэффициентов нормальной формы от а»! и согласно формулам (4.6) главы 7 и формулам (1.5) настоящей главы. Выражение для можно записать в виде функции аргумента Получаем

где через обозначен многочлен пятой степени от и:

Из уравнения (4.3) главы 7 получаем

А так как в области устойчивости в первом приближении выполняется неравенство то очевидно, что при всех в этой области выполнено неравенство и

Многочлен и его производные при имеют такие числовые значения:

Так как все эти значения положительны, то (см., например, [35]) при и 4 уравнение не имеет корней. Тем самым доказана выполнимость неравенства при всех из области устойчивости в первом приближении (кроме А значит, доказана и сформулированная в начале параграфа теорема об устойчивости точек либрации для большинства начальных условий.