§ 5. Об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс

В предыдущем параграфе доказана теорема, полностью решающая задачу об устойчивости треугольных точек либрации для всех значений лежащих внутри области (2.2) устойчивости в первом приближении. Известный интерес представляет также задача об устойчивости при граничных значениях области (2.2).

При вопрос решается просто, так как задача трех тел при этом переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости точек либрации сводится к исследованию устойчивости движения материальной точки вокруг неподвижного притягивающего центра, а такое движение, как известно, неустойчиво, так как сколь угодно малое возмущение начальных условий приводит к изменению периода кеплеровского движения; здесь имеет место лишь орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу А. Сокольского [85]).

Исследование устойчивости движения при

(критическое отношение масс или, как иногда говорят, критическое отношение масс Рауса) представляет значительные трудности. При частоты линейных колебаний равны, а линеаризованная система, как уже отмечалось в главе 1, неустойчива. Исследование устойчивости точек либрации при в нелинейной постановке задачи проведено А. Сокольским в работе [88] как для плоской задачи, так и для пространственной. Кратко опишем полученные результаты в случае плоской задачи.

При матрица линеаризованной системы уравнений возмущенного движения к диагональной форме не приводится. Ее собственные числа равны Линейное вещественное каноническое преобразование задающееся при

помощи матрицы

приводит квадратичную часть функции Гамильтона (3.1) (при к следующей нормальной форме:

Проведя затем нелинейную нормализацию и проделав все вычисления согласно формулам работы [87], приведенным, в § 4 главы 4, получим гамильтониан возмущенного движения в виде

В (5.3) не выписаны члены выше четвертого порядка относительно Коэффициент А в гамильтониане (5.3) равен Так как он положителен, то, согласно § 4 главы 4, точки либрации формально устойчивы.