ГЛАВА 11. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ-ХОРИ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

§ 1. Введение

Многие задачи небесной механики описываются каноническими дифференциальными уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона содержащей малый параметр

где векторы координат и импульсов соответствующей механической задачи.

Пусть параметр входит в гамильтониан аналитически. Если при рассматриваемая каноническая система интегрируема, то для качественного и количественного изучения движения при часто ищут каноническую замену переменных близкую к тождественной и приводящую функцию мильтона (1.1) к такой форме, которая позволила бы достаточно просто провести исследование тех или иных свойств движения в изучаемой механической задаче. В качестве примера можно привести неоднократно встречавшиеся в предыдущих главах преобразования, исключающие из функции Гамильтона нерезонансные члены.

Если исходная функция Гамильтона не содержит время то при традиционном подходе преобразование может быть найдено при помощи метода Цейпеля [9]. Преобразование задается при этом при помощи производящей функции зависящей от смешанных (новых и старых) переменных:

Через в (1.2) обозначено скалярное произведение векторов у и Преобразование задается неявно при помощи соотношений

Отметим, что рассмотренное в главе 3 преобразование Биркгофа во многих отношениях аналогично преобразованию метода Цейпеля.

Можно отметить следующие существенные недостатки теории возмущений, основанной на применении метода Цейпеля. Во-первых, нахождение преобразования требует очень громоздких вычислений. В самом деле, для выражения переменных через надо сначала обратить нелинейное уравнение (1.4), чтобы выразить вектор импульсов X через новые переменные а потом результат обращения подставить в правую часть уравнения (1.3), чтобы явно выразить вектор координат х через С практической точки зрения упомянутые операции обращения и подстановки являются весьма трудоемкими. Во-вторых, для получения обратного преобразования нужно выполнить такой же объем вычислений, как и при нахождении прямого преобразования. Здесь требуется сначала обратить уравнение (1.3), чтобы выразить у через а затем результат подставить в (1.4) для получения выражения через В-третьих, неявные соотношения (1.3) и (1.4) метода Цейпеля не дают общего алгоритма преобразования достаточно произвольной функции первоначальных фазовых переменных в функцию новых переменных На практике такой алгоритм очень часто необходим.

В последнее десятилетие в работах [108, 113, 142, 143, 155, 156] разработан новый способ построения канонического преобразования в котором устранены упомянутые недостатки метода Цейпеля. Основные достоинства этого способа состоят в следующем:

1) формулы замены переменных получаются в явной форме;

2) обратное преобразование не требует никаких дополнительных вычислений;

3) формулы преобразования пригодны не только для координат и импульсов, но и для любой функции от них, в частности для гамильтониана;

4) формулы метода задаются рекуррентно и необходимые вычисления могут быть достаточно просто реализованы на ЭВМ.

Метод, разработанный в [108, 113, 142, 143, 155, 156], основывается на простой идее, использующей тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое при помощи движений гамильтоновой системы, является каноническим [16]. Практическое осуществление канонических преобразований в работах [108, 113, 142, 143, 155, 156] опирается на использование рядов Ли и преобразования Ли.

Основы упомянутого метода разработаны независимо Хори [142] и Депри [113]. Дальнейшие работы [94, 108, 137, 143, 144, 155, 156, 171] содержат его более детальную разработку и отладку. Краткое изложение основных идёй метода канонических

преобразований Депри — Хори содержится в лекциях К. В. Холшевникова [94] и монографии Джакалья [137].

Настоящая глава посвящена изложению основ метода Депри — Хори в теории возмущений канонических систем. Для ясности изложения предварительно рассматриваются ряды Ли и их некоторые свойства. Затем следует подробное изложение метода Депри в модификации Кэмила. И в заключение главы кратко рассматривается преобразование Хори. При изложении материала этой главы используются оригинальные публикации авторов метода, лекции К. В. Холшевникова [94], монография Джакалья [137], а также мало известная работа Кэмила [144].