ДОПОЛНЕНИЕ. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
§ 1. Уравнения движения
Кроме точек либрации задачи трех тел, в небесной механике известны еще точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Их существование было установлено Ю. В, Батраковым в работе [6]. Эти точки либрации представляют собой частные решения дифференциальных уравнений движения материальной точки в окрестности вращающегося с постоянной угловой скоростью трехосного гравитирующего эллипсоида. Во вращающейся, связанной с эллипсоидом, системе координат эти частные решения представляют собой положения равновесия. Таких равновесных положений материальной точки всего четыре. Они расположены на продолжениях большой и малой осей экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно его центра масс.
В статье [1] В. К. Абалакин исследовал устойчивость упомянутых точек либрации в линейном приближении и установил, что две точки либрации, расположенные на продолжении большой полуоси экваториального сечения эллипсоида, неустойчивы по Ляпунову (выполнены достаточные условия неустойчивости), а две другие точки, расположенные на продолжении малой полуоси, устойчивы в первом приближении (выполнены необходимые условия устойчивости).
Дальнейшее исследование устойчивости точек либрации, расположенных на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, проведено в работах С. Г. Журавлева [25, 184, 185]. Использовав недавние результаты теории гамильтоновых систем, изложенные в главах 4 и 5 настоящей книги, С. Г. Журавлев получил строгие выводы об устойчивости этих точек либрации.
Ниже кратко излагаются результаты упомянутых работ Ю. В. Батракова, В. К. Абалакина и С. Г. Журавлева, посвященных точкам либрации в окрестности вращающегося эллипсоида. Сначала получим уравнения движения. Пусть материальная точка движется в поле тяготения вращающегося с постоянной угловой скоростью со трехосного гравитирующего эллипсоида массы М. Выберем прямоугольную систему координат 
связанную с эллипсоидом. Начало этой системы координат поместим в центр
масс О эллипсоида; оси 
совпадают с главными центральными осями инерции эллипсоида, и направление угловой скорости вращения последнего совпадает с направлением оси 
Дифференциальные уравнения движения материальной точки во вращающейся системе координат 
можно (см. [24]) записать в виде
где V — потенциал притяжения эллипсоида.
Рис. 47. Точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.
Пусть эллипсоид представляет собой однородное гравитирующее тело, поверхность которого можно записать в виде уравнения
Потенциал такого эллипсоида на внешнюю точку задается формулой Дирихле [24]
где 
гравитационная постоянная, а и — положительный корень уравнения
Пусть эллипсоид мало отличается от однородного шара радиуса 
и имеет объем, равный объему этого шара. Тогда
где 
и 
малые по сравнению с 
величины, которые в силу равенства объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с точностью до малых более высокого порядка соотношению 
Разлагая потенциал (1.2) в ряд по степеням 
получаем выражение для потенциала притяжения эллипсоида в виде.
Здесь не выписаны члены более высокого порядка относительно
а, 
а через 
обозначено расстояние от материальной точки до центра масс эллипсоида.
Для дальнейшего удобнее рассматривать уравнения движения в безразмерных переменных. Положим
где 
Введем еще вместо трех малых величин 
один параметр 
, связанный с упомянутыми величинами соотношениями
В новых переменных уравнения движения (1.1) запишутся в виде
где
