§ 2. Теорема Мозера об инвариантных кривых

В этом параграфе рассмотрим одну геометрическую теорему Мозера [72, 73], существенную для дальнейшего. Эта теорема относится к отображениям плоского кольца, сохраняющим площадь. Приведем формулировку теоремы Мозера. Пусть задано преобразование действительных переменных

Это преобразование определено в кольце но не обязательно отображает его в себя. В отображении (2.1) у — постоянный положительный параметр, не превосходящий единицы. Пусть отображение (2.1) обладает свойствами:

1) любая замкнутая кривая близкая к окружности (т. е. мала), пересекается со своим образом;

2) для некоторой постоянной

3) функции имеющие непрерывные производные до порядка включительно, удовлетворяют для некоторого положительного при неравенствам

где норма определяется равенством

(переменные изменяются в области определения .

В теореме Мозера утверждается, что при выполнении условий

1) — 3) для каждого со такого, что

целые числа, , существует инвариантная при отображении (2.1) кривая с которая в параметрической форме имеет вид

Преобразование, индуцированное на инвариантной кривой, задается равенством где Функции имеют период по угловым переменным.

Таким образом, теорема Мозера об отображении (2.1) устанавливает существование бесконечного числа инвариантных кривых, лежащих в кольце Этими инвариантными кривыми кольцо разбивается на бесконечное число колец, отображающихся при помощи (2.1) на себя, и, следовательно, образы всех точек, лежащих внутри этих колец, ограничиваются при всех итерациях отображения (2.1). Для дальнейшего полезно отметить, что условие теоремы Мозера о пересечении кривой и ее образа, очевидно, выполнено, если отображение (2.1) сохраняет площадь.