§ 11. Результаты расчетов

В этом параграфе изложены результаты, полученные при исследовании устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Исследование проводилось методом, который был изложен в предыдущих параграфах. При этом использовался комплекс программ нормализации гамильтоновых систем, разработанный на языке в работе [70].

Сначала опишем результаты, которые можно получить при анализе членов до включительно в разложении функции Гамильтона (4.2).

Коэффициенты разложений границ областей параметрического резонанса в ряды по подсчитанные по формулам (8.24) — (8.28), приведены в табл. 15.

Таблица 15

Таблица 16 (см. скан)

Таблица 17 (см. скан)

Используя формулы § 9, можно найти коэффициенты разложений резонансных кривых третьего и четвертого порядков в ряды по малому параметру Результаты представлены в табл. 16 (резонансы порядка) и 17 (резонансы порядка).

В пятом столбце табл. 16 даны значения главного члена резонансного коэффициента А для рассматриваемых резонансов третьего порядка. Ни один из них не равен нулю, и, следовательно, при достаточно малых значениях параметра соответствующие периодические движения будут неустойчивы.

В пятом и шестом столбцах табл. 17 даны значения главного члена коэффициента В и значения величин для рассматриваемых резонансов четвертого порядка. Видно, что неустойчивыми при резонансных значениях параметров будут только периодические движения III типа (резонанс

Несложные выкладки показывают, что коэффициенты нормальной формы (10.5) можно не находить в результате

описанного выше алгоритма нормализации, так как при они совпадают с соответствующими коэффициентами нормализованного около положения равновесия гамильтониана (4.2). Нормализованная форма четвертого порядка разложения гамильтониана в окрестности треугольной точки либрации при нерезонансных значениях параметра имеет вид

Явные [выражения коэффициентов нормальной формы (11.1) через частоты приведены в главах 7 и 8. При с и а при

Кроме того, оказалось, что для периодических движений III типа коэффициенты нормальной формы (10.5) в точности равны коэффициентам нормальной формы (11.1), т. е.

Сон, Хаким образом, в нерезонансном случае надо было вычислять только коэффициенты (а для плоской задачи только коэффициент для

Результаты исследования нелинейной устойчивости периодических движений I, II и III типов сведены в табл. 18.

Таблица 18 (см. скан)

Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа периодических движений пространственной задачи определители ни при каких значениях одновременно в нуль не обращаются и, следовательно, при всех нерезонансных значениях параметров из области устойчивости линейной системы все периодические движения пространственной задачи будут устойчивы для большинства начальных условий.

Результаты исследования устойчивости периодических движений I, II и III типов показаны на рис. 24, 25 и 26 соответственно

(в плоскости параметров Кружками на оси изображены такие значения параметра для которых из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле не следует существование периодических движений. На рис. 24 — это точки на рис. 25 — это, кроме того, значения удовлетворяющие соотношению (2.7), а на рис. 26 — это точка Области параметрического резонанса (области неустойчивости линейной системы) на рис. 24— 26 заштрихованы наклонной штриховкой. Штриховыми линиями изображены резонансные кривые, на которых соответствующие периодические движения неустойчивы. «Устойчивые» резонансные кривые изображены сплошными линиями, а кривые, на которых имеет место формальная устойчивость, — штрих-пунктирными линиями. Области формальной устойчивости из табл. 18 на рис. 24, б, 25, б и 26 заштрихованы вертикальной штриховкой.

Выше были описаны результаты, полученные только на основе анализа членов до включительно в разложении (4.2). Однако в рассматриваемой задаче можно получить более полные результаты. Укажем на некоторые из них.

Остановимся сначала на резонансных случаях. Для этого сравним вторые столбцы табл. 10 —14 и табл. 15 —17; рассмотрим подробнее те резонансы из табл. 10 — 14, которые не попали в табл. 15 — 17.

Из резонансов, являющихся порождающими (на оси для областей неустойчивости линейной системы, это только резонансы где (в плоской и пространственной задачах), и где (в пространственной задаче), для периодических движений II типа. Из соответствующих этим резонансам точек на оси будут исходить очень узкие области неустойчивости (вообще говоря, области тем уже, чем больше которые при приближении к оси сгущаются и перемежаются с областями устойчивости в линейном приближении. Согласно формулам (8.27), границы этих областей параметрического резонанса мало отличаются от квадратичных парабол, а подсчитанные для них величины из (8.28) при достаточно малых будут принимать только отрицательные значения; следовательно, все параболы «загнуты» к оси при достаточно малых

Далее, соотношения (9.5) и табл. 10 — 14 позволяют построить в плоскости параметров все возможные резонансные кривые третьего и четвертого порядков, как бы соответствующие им числа ни были велики. Для резонансов (9.4) с числами разного знака сразу же можно сделать заключение о формальной устойчивости.

При решении вопроса об устойчивости для оставшихся резонансов третьего порядка дополнительных вычислений можно не производить, так как маловероятно, что соответствующие этим резонансам величины А из (10.1) обратились в нуль; следовательно,

(кликните для просмотра скана)

при этих значениях параметров достаточно малых , как правило, будет иметь место неустойчивость.

При малых значениях для исследования устойчивости на резонансных кривых четвертого порядка достаточно вычислить величину и убедиться в том, что эта величина не обращается в нуль (то, что она может обратиться в нуль, — маловероятно). Тогда можно утверждать, что при соответствующих значениях параметров в плоской задаче будет устойчивость, а в пространственной задаче — устойчивость в четвертом приближении.

В плоской задаче для тех нерезонансных значений при которых не выполнено условие (10.8) (см. второй столбец табл. 18), можно продолжить исследование устойчивости и учесть в разложении (4.2) члены шестого порядка. Это даст возможность найти коэффициенты формы третьего порядка относительно

Подсчитав значение формы (11.2) на векторе с компонентами и убедившись в отличии получившейся величины от нуля, можно сделать вывод об устойчивости по Ляпунову для соответствующих значений параметров (ср. § 4 главы 7).

В пространственной задаче учет членов шестого порядка из (4.2) может дать возможность получить утверждения о формальной устойчивости для значений не попадающих в интервалы формальной устойчивости из табл. 18 (ср. § 3 главы 8).

Однако указанные исследования, учитывающие члены шестого (а возможно, и более высокого) порядка, можно не проводить, поскольку описанные выше результаты, полученные на основе исследования членов до включительно, дают достаточно полное представление об устойчивости рассматриваемых периодических движений.