§ 5. Устойчивость точек либрации при малых е

Рассмотрим устойчивость точек либрации для малых значений эксцентриситета. Покажем, что если параметры находятся в области устойчивости в первом приближении и не принадлежат резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то при достаточно малых значениях (зависящих от треугольные точки либрации устойчивы, если в нормальной форме функции Гамильтона пренебречь членами выше четвертого порядка по

Пусть не равно ни одному из значений задаваемых табл. 2 и 3 главы 9, и принадлежит интервалу устойчивости в первом приближении для круговой задачи. Тогда при малых значениях эксцентриситета отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядка и нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вид (4.1). Рассмотрим свойства нормальной формы при малых Согласно § 4, для доказательства устойчивости нужно проверить, что функция отлична от нуля при любых значениях

В выражении для слагаемые, содержащие угол при малых значениях могут быть сделаны сколь угодно малыми, а коэффициент при уменьшении стремится к функции имеющей вид (см. формулу для в восьмой главе)

Следовательно, для любого фиксированного существует достаточно малое положительное число такое, что при функция будет отрицательной и, значит, уравнение не будет иметь корней. Отсюда и следует устойчивость лагранжевых решений.