§ 5. Получение функции Гамильтона по отображению

В предыдущем параграфе показано, как по функции Гамильтона построить точечное отображение. В этом параграфе кратко рассмотрим обратную задачу, как по отображению построить соответствующую функцию Гамильтона динамической системы. Очевидно, что обратная задача не имеет однозначного решения.

Производящая функция отображения связана с функцией Гамильтона посредством системы дифференциальных уравнений (3.6). Пусть отображение и функция Гамильтона в их линейной части по имеют нормальную форму. Покажем, как найти если известна функция

Возьмем в функции два одночлена вида

где константы. Соответствующие одночлены в функции будем искать в виде

Функции ищем -периодическими но Согласно они должны удовлетворять следующим соотношениям:

где

Функции определяются из (5.2) и (5.3) неоднозначно. Если не будет целым числом, то их можно считать не зависящими от Из (5.2) и (5.3) в этом случае для них получаем выражения

Соответствующие одночлены (5.1) в будут в этом случае такими:

Если же число будет целым, то функции постоянными получить нельзя. Пусть Тогда прибавление к функциям гармоник вида не нарушает равенств (5.3). Будем поэтому искать функции в таком виде, когда они не содержат гармоник для Положим

Для чисел из (5.2) и (5.3) получаем соотношения

Здесь опять проявляется неоднозначность определения Используем эту неоднозначность для того, чтобы получить искомые одночлены в в нормальной форме, т. е. чтобы она содержала синусы и косинусы только с аргументами вида

В этом случае следует, очевидно, положить

Входящие в одночлены будут иметь вид

После того как функция найдена, можно из уравнений (3.6) найти Потом можно найти д.

Проведенные рассмотрения приводят к следующему, основанному на применении точечных отображений способу нормализации -периодических по гамильтоновых систем. Решив уравнения (3.6), находим производящую функцию точечного отображения Затем вводим новые координаты, в которых функция имеет нормальную форму. Последний шаг — получение по нормализованной производящей функции нормальной формы функции Гамильтона.

Основные преимущества предлагаемого способа нормализа ттии функции Гамильтона перед классическим способом Биркгофа, по-видимому, следующие:

1) Отпадает необходимость находить периодические решения систем дифференциальных уравнений, определяющих производящую функцию преобразования Биркгофа. Это приводит, в частности, к значительному уменьшению необходимых вычислений.

2) Исследование неавтономной нелинейной системы дифференциальных уравнений сводится к исследованию алгебраических свойств производящей функции отображения.