§ 2. Исследование устойчивости при резонансе w1 = 2w2

Пусть частоты линеаризованной системы (1.1) связаны резонансным соотношением третьего порядка Проведем, следуя [55], подробное исследование устойчивости. Будем считать, что гамильтониан (1.2) имеет вид, соответствующий нормальным колебаниям линейной системы (соответствующую вещественную линейную нормализацию можно провести согласно, например, главе 2):

Для приведения гамильтониана (2.1) к виду, удобному для применения преобразования Биркгофа, сделаем каноническую замену переменных

В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде

Коэффициенты формы третьего порядка в (2.3) выражаются через коэффициенты функции Гамильтона (2.1) по следующим формулам. Обозначим через и следующие десять пар вещественных величин:

По этим десяти парам вычисляются соответствующие коэффициенты из (2.3):

Остальные десять коэффициентов формы третьей степени в (2.3) вычисляются по формулам

Применив преобразование Биркгофа уничтожим в функции Гамильтона все члены третьей степени, кроме резонансных. В новых переменных гамильтониан станет таким:

Будем считать, что Выполним еще несколько канонических преобразований. Во-первых, вернемся к вещественным переменным, сделав каноническое преобразование

Во-вторых, введем полярные координаты при помощи канонической замены переменных

где определяется из соотношений

В полярных координатах функция Гамильтона имеет вид

где имеет период по

Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что то положение равновесия неустойчиво. Если же то имеет место устойчивость по Ляпунову.

Для доказательства неустойчивости сначала при помощи интеграла понизим порядок системы на две единицы [90]. Для доказательства неустойчивости положения равновесия достаточно показать его неустойчивость хотя бы на одном уровне энергии Рассмотрим уровень Из уравнения при достаточно малых получаем

Мы получили, таким образом, каноническую систему с одной степенью свободы и с функцией Гамильтона К. Новой независимой переменной является угловая переменная

Введем вместо переменных новые переменные по формулам

Тогда получаем систему с такой функцией Гамильтона:

Из уравнений движения системы с гамильтонианом (2.10) следует, что при малых угловая переменная будет монотонно возрастающей функцией времени Поэтому в задаче об устойчивости переменная может играть ту же роль, что и время.

Чтобы показать неустойчивость, воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. Функцию Ляпунова V возьмем в виде

Ясно, что V является знакопеременной функцией. Для ее производной получаем такое выражение:

Функция (2.14) определенно-положительная в окрестности начала координат. Следовательно, согласно теореме Ляпунова, имеет место неустойчивость.

Пусть теперь Тогда в гамильтониане (2.7) отсутствуют резонансные члены а функцию Гамильтона, несмотря на наличие соизмеримости при помощи преобразования Биркгофа можно привести к виду (1.5). И тогда выполнение условия (1.4) теоремы Арнольда — Мозера гарантирует устойчивость. Таким образом, при условии положение равновесия устойчиво. Теорема доказана.