§ 4. Неавтономная система с двумя степенями свободы. Случай резонанса третьего порядка

Рассмотрим задачу об устойчивости положений равновесия неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Будем считать, что соответствующая функция Гамильтона -периодична по времени и аналитична относительно координат и импульсов. Кроме того, предположим, что линеаризованная система устойчива и все ее мультипликаторы различны. В этом случае функция Гамильтона в подходящим образом выбранных переменных (см гяпву 2) имеет вид

Здесь характеристические показатели линеаризованной системы, целые неотрицательные числа,

Если величина к не будет целым числом для любых целых неотрицательных чисел то, согласно Мозеру (см. главу 2), система, имеющая функцию Гамильтона (4.1), формально устойчива. С другой стороны, если величина не будет целым числом для целых чисел удовлетворяющих равенствам (т. е. в системе отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядков), то при помощи преобразования Биркгофа функцию Гамильтона (4.1) можно привести к виду

Ххгх

Согласно теореме Брюно (см. § 2), при выполнении неравенства для целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих уравнению целое число), имеет место формальная устойчивость. Как следствие, отсюда получаем, что система с функцией Гамильтона (4.1) формально устойчива, если квадратичная форма

знакоопределенна при Последнее утверждение есть частный случай для условия формальной устойчивости, полученного Глиммом [138]. И, наконец, отметим еще, что если то имеет место устойчивость для большинства начальных условий (см. § 1).

Рассмотрим, следуя [61], задачу об устойчивости, когда в системе есть резонансы третьего или четвертого порядков. Будем предполагать, что число является целым для одной пары целых неотрицательных чисел сумма которых равна трем или четырем. Таким образом, будут рассмотрены девять резонансных случаев:

Так как мультипликаторы предполагаются различными, то целые, полуцелые и удовлетворяющие равенствам значения X не рассматриваются. Это означает, что в системе нет резонансов до второго порядка включительно и задача об устойчивости нелинейной системы решается для значений параметров, лежащих внутри области устойчивости линеаризованной системы.

Исследуем сначала устойчивость в случаях (1) — (4). Введем новые канонические переменные при помощи преобразования Биркгофа, задаваемого производящей функцией

где

Здесь

Обозначим новую функцию Гамильтона через Пусть совокупности членов порядка к относительно координат и импульсов соответственно в старой и новой функциях Гамильтона. Из тождества, связывающего

получаем

В (4.4) функции имеют своими аргументами величины через обозначен оператор

Введем обозначение Если величина не будет целым числом при (т. е. отсутствуют резонансы третьего порядка), то, выбрав соответствующим образом можно добиться выполнения тождества Для -периодических коэффициентов получаем после несложных выкладок такие выражения:

(см. скан)

Если же величина равняется целому числу при функцию уничтожить нельзя, но ее можно привести к нормальной форме, отражающей резонансный характер задачи. И в новых переменных функция Гамильтона запишется в виде

Выражения для в случаях (1) — (4), определенных в (4.3), будут соответственно такими:

В формулах (4.8) введены обозначения

Для каждого из резонансов (1) — (4) имеет место следующее утверждение.

Теорема. Если положение равновесия неустойчиво.

Проведем доказательство для случая (1). После канонического преобразования

где

функция Гамильтона примет вид

Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Четаева [95]. Функцию возьмем в виде где

За область примем область

На границе этой области либо либо равны нулю, а внутри области выполняется равенство

Параметр а подберем так, чтобы производная функции в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.11) была определенноположительной в области

Легко проверить, что при производная может быть представлена в виде

где функции сколь угодно малы при стремящемся к нулю. В области как нетрудно проверить, выполняются неравенства

Поэтому из (4.13) и (4.14) следует, что в области в достаточной близости к началу координат функция будет

определенно-положительной и, согласно теореме Четаева, положение равновесия неустойчиво.

В случае (3) после преобразования (4.10), где теперь

ПОЛЗУЧИМ

Неустойчивость положения равновесия доказывается при помощи функции Четаева где

Доказательства неустойчивости в случаях (2) и (4) аналогичны доказательствам в случаях (1) и (3) соответственно.