§ 5. Периодические орбиты и их устойчивость

В работе Кэмила [144] показано, что система уравнений (4.8) имеет три положения равновесия. Обозначим их через . Соответствующие периодические движения также будем обозначать через Координаты равновесных точек находятся из системы алгебраических уравнений

Так как в гамильтониане (4.10) содержатся члены, линейные относительно (они обусловлены наличием солнечных возмущений и входят в начало координат (совпадающее с точкой либрации уже не будет положением равновесия. Но существует одно положение равновесия близкое к началу координат. Чтобы найти равновесную точку удержим в гамильтониане К только линейные и квадратичные члены относительно Тогда

где

Из (5.1) — (5.3) получаем, что близкое к началу координат положение равновесия таково:

Найденное положение равновесия соответствует периодической орбите КА с периодом, равным одному синодическому месяцу. Ниже будет показано, что эта периодическая орбита неустойчива.

Как показано в работе [144], система уравнений (5.1) допускает еще два решения которые соответствуют устойчивым периодическим орбитам. Координаты равновесных точек найдены в [114] в виде рядов по степеням

Равновесные точки соответствуют периодическим орбитам КА с периодом, равный одному синодическому месяцу. Размеры этих двух орбит очень близки, но фазы периодических движений отличаются на 180°.

Для исследования устойчивости найденных периодических движений выпишем квадратичную часть разложения гамильтониана К в ряд по отклонениям (линейные относительно члены в уничтожаются, так как

Таблица 19

координаты точек удовлетворяют системе уравнений Имеем

Числовые значения величин приведены в табл. 19. Как и в работе Кэмила [144], ограничимся анализом устойчивости в линейном приближении. При одновременном выполнении двух неравенств

имеет место устойчивость в линейном приближении. Если же хотя бы одно из неравенств (5.8) выполнено с обратный знаком, то периодическое движение неустойчиво. Проверка выполнимости неравенств (5.8) показывает, что периодическое движение неустойчиво, а периодические движения устойчивы в линейном приближении.

Рис. 41. Устойчивые периодические орбиты вблизи точки либрации в системе Земля — Луна с учетом солнечных возмущений.

Устойчивые орбиты схематически изображены в плоскости на рис. 41. Орбита имеет форму, очень близкую к форме эллипса.

Большая полуось этого эллипса приблизительно перпендикулярна прямой, проходящей через и центр масс Земли. Большая и малая полуоси эллипса незначительно (не более чем на 3%) отличаются от полуосей орбиты, полученной Коленкевичем и Карпентером, при помощи точных численных расчетов и равных соответственно и

Движение КА. по орбите синхронизировано с движением Солнца таким образом, что их угловые положения почти совпадают, когда КА. пересекает одну из осей эллипса.

Орбита очень похожа на орбиту ее размеры несколько меньше размеров орбиты Космический аппарат, движущийся по орбите начинает свое движение с противоположной стороны эллипса по сравнению с космическим аппаратом, движущимся по орбите Таким образом, хотя орбита и сдвинута по фазе на 180° относительно орбиты движение по ней также синхронизировано с движением Солнца.

Полученные периодические орбиты это единственные известные устойчивые периодические орбиты в рассматриваемой задаче о движении КА вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна при наличии возмущающего гравитационного воздействия Солнца. Отметим, что учет исключенных из гамильтониана К короткопериодических членов и членов, содержащих долгопериодические функции с частотой — (см. § 4), приведет к тому, что орбиты станут условно-периодическими, но размеры этих орбит изменятся незначительно по сравнению с размерами периодических орбит и [144]. Отметим еще, что в работе [144] сделана попытка найти периодические орбиты, отличающиеся от Но приближенность анализа, проведенного в [144], не позволила сделать достаточно строгих выводов об их существовании и устойчивости.