ГЛАВА I. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

§ 1. Уравнения движения ограниченной задачи трех тел

Пусть массы трех материальных точек движущихся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Будем считать, что конечные массы а массу предположим малой по сравнению с массами Из-за малости массы тела его влиянием на движение тел и можно пренебречь и, таким образом, мы придем к ограниченной задаче трех тел, которая заключается в исследовании движения тела бесконечно малой массы под действием притяжения тел массы которых конечны.

Движение тела относительно тела определяется из задачи двух тел. Пусть расстояние между телами параметр и эксцентриситет их кеплеровской орбиты, истинная аномалия, с — константа интеграла площадей и гравитационная постоянная. Тогда

В зависимости от величины эксцентриситета можно различать следующие варианты задачи трех тел: гиперболическую ограниченную задачу, когда орбита тела гипербола ; эллиптическую ограниченную задачу, когда орбита тела эллипс круговую ограниченную задачу, в которой орбита тела окружность Можно также рассматривать параболическую и прямолинейную (когда тело движется по прямой, проходящей через ограниченные задачи.

Если тело бесконечно малой массы во все время движения находится в плоскости движения тел то говорят, что соответствующая ограниченная задача плоская; если же тело в своем движении выходит из плоскости орбиты тел то говорят о пространственной ограниченной задаче.

Получим дифференциальные уравнения, определяющие движение тела в ограниченной задаче трех тел. Введем (рис. 1) систему координат с началом в центре масс тел Плоскость совместим с плоскостью орбиты тела относительно Ось направим по прямой в сторону тела

Кратчайший поворот от оси к оси совпадает с направлением вращения тела относительно тела Ось дополняет оси до правой системы координат.

Рис. 1. К выводу уравнений движения.

Кинетическая энергия тела и силовая функция вычисляются по формулам

Точкой в (1.2) и далее обозначается дифференцирование по времени Величины в (1.3) — расстояния тела от тел соответственно:

При помощи функции Лагранжа выписываем дифференциальные уравнения движения тела

Здесь через обозначена силовая функция (1.3), разделенная на Сделаем в уравнениях (1.5) замену переменных, введенную Нехвилом [22]:

где определяется формулами кеплеровского движения (1.1). Кроме того, перейдем к новой независимой переменной истинной аномалии Производные по обозначим штрихами. Получаем такие соотношения:

где в функции входящей в правую часть последнего равенства, величины вычисляются по формулам

Подставив выражения (1.7) в первое уравнение системы (1.5), получим

Аналогично преобразуются остальные уравнения системы (1.5). В результате получим следующую систему дифференциальных уравнений:

где теперь

Если ввести функцию по формуле

то уравнения движения (1.8) запишутся в более компактной форме: