§ 4. Формальная устоёчивость точек либрации при критическом отношении масс

Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс являющемся границей области устойчивости в линейном приближении. При частоты плоских колебаний равны между собой а частота пространственных колебаний как и при любых значениях равна единице. Линейным вещественным каноническим преобразованием приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого переменные плоского движения преобразуем с помощью матрицы , задающейся равенством (5.1) седьмой главы, оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмущенного

движения примет вид

При помощи преобразования Биркгофа можно в гамильтониане (4.1) уничтожить все члены третьего порядка, а члены четвертого порядка упростить. Функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертого порядка включительно, в новых переменных будет иметь вид

В (4.2) не выписаны члены пятого и более высоких порядков, коэффициенты те же, что и в формуле (5.3) седьмой главы. Как будет видно ниже, для доказательства формальной устойчивости существен только коэффициент

Докажем формальную устойчивость точек либрации. Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобразования Биркгофа (возможно, расходящегося) функция Гамильтона (4.2) может быть приведена к следующей нормальной форме:

где целые неотрицательные числа.

Каноническая система с гамильтонианом (4.3) имеет три формальных интеграла:

Следовательно, их комбинация

также будет формальным интегралом. В разложении

функция

при будет определенно-положительной функцией своих переменных. Отсюда следует формальная устойчивость треугольных точек либрации при критическом отношении масс

Отметим в заключение, что приведенное выше доказательство формальной устойчивости отличается от доказательства, изложенного в работе А. Сокольского [88]. Приведенный здесь новый вариант доказательства также сообщен автору А. Г. Сокольским.